rozkład wykładniczy

[july04]

Mam udowodnić taką własność.
Wykaż, że jeżeli zmienna losowa \(\displaystyle{ T}\) ma rozkłąd wykładniczy z parametrem \(\displaystyle{ \lambda}\), \(\displaystyle{ T\sim Exp(\lambda)}\), \(\displaystyle{ \lambda >0}\), to wartość oczekiwana wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{\lambda} }\).
Poproszę o pomoc.

[Tmkk]

Trzeba będzie policzyć całkę. Ale zanim to, czy znasz odpowiedzi na poniższe pytania:

Jaką gęstość ma zmienna losowa z parametrem wykładniczym?
Jaki jest wzór na wartość oczekiwaną?

[july04]

Jedyny wzór na wartość oczekiwaną w tym rozkładzie jaki znam to właśnie \(\displaystyle{ \frac{1}{\lambda} }\)
a gęstość to \(\displaystyle{ \lambda e ^{-\lambda x} }\)

[Tmkk]

No tak, ale wg tego zadania, masz ten wzór wyliczyć.

Dokładniej gęstość to \(\displaystyle{ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} 1_{(0,\infty)}}\).
Z kolei wartość oczekiwana zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) z gęstością \(\displaystyle{ f}\) to \(\displaystyle{ \mathbb{E}X = \int_{-\infty}^\infty xf(x)\mbox{d}x}\).

Wobec tego, masz do policzenia całkę

\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^\infty x\lambda e^{-\lambda x} 1_{(0,\infty)} \mbox{d}x}\)

i powinno wyjść \(\displaystyle{ \frac{1}{\lambda}}\).

[july04]

Zgadza się. Ale jak bym nie liczył tej całki ręcznie czy w Wolframie to ciągle wychodzi mi 0

Dodano po 1 minucie 37 sekundach:
przy czym nie rozumiem tego momentu \(\displaystyle{ 1 _{(0, \infty) } }\)

[Tmkk]

nie widzę jak liczysz, więc ciężko stwierdzić, co robisz źle.

\(\displaystyle{ 1_{(0,\infty)}}\) to funkcja charakterystyczna zbioru, a dokładniej \(\displaystyle{ 1_{A}(x) = 1}\), gdy \(\displaystyle{ x \in A}\) oraz zero w przeciwnym przypadku. W przypadku całki, taka funkcja zmienia przedział, po którym całkujemy. Sprawdź jeszcze raz bardzo dokładnie wzór na gęstość rozkładu wykładniczego, to będziesz wiedział, o co mi chodzi.

[july04]

nie widzę jak liczysz, więc ciężko stwierdzić, co robisz źle.

\(\displaystyle{ 1_{(0,\infty)}}\) to funkcja charakterystyczna zbioru, a dokładniej \(\displaystyle{ 1_{A}(x) = 1}\), gdy \(\displaystyle{ x \in A}\) oraz zero w przeciwnym przypadku. W przypadku całki, taka funkcja zmienia przedział, po którym całkujemy. Sprawdź jeszcze raz bardzo dokładnie wzór na gęstość rozkładu wykładniczego, to będziesz wiedział, o co mi chodzi.

czyli to będzie
\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } ...}\)

[Tmkk]

Tak jest

[janusz47]

\(\displaystyle{ X \sim \mathcal{ Exp}[ \lambda, \lambda >0] }\)

\(\displaystyle{ f_{X}(x) = \begin{cases} 0 \ \ \text{dla} \ \ x<0 \\ \lambda e^{-\lambda x} \ \ \text{dla} \ \ x\geq 0 \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ E(X) = \int_{0}^{\infty} x\cdot f(x) dx = \int_{0}^{\infty} x\cdot \lambda e^{-\lambda x}dx = ...}\)

Proszę obliczyć całkę metodą całkowania przez części.

[july04]

Dziękuję panom za pomoc.

[janusz47]

\(\displaystyle{ E(X) = \int_{0}^{\infty} x\cdot \lambda e^{-x} dx = \lambda \int_{0}^{\infty} x\cdot \left(-\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda x}\right)' dx = \lambda \left[ x\left( -\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x}\right)_{0}^{\infty} \right] + \frac{1}{\lambda} \int_{0}^{\infty} e^{-\lambda x}dx = }\)

\(\displaystyle{ = \lambda \left[ 0 - \left( \frac{1}{\lambda^2}e^{-\lambda x}\right)_{0}^{\infty} \right] = \lambda \left( 0 +\frac{1}{\lambda^2} \right) = \frac{1}{\lambda}.}\)