Znajdź odchylenie standardowe rozkładu normalnego

[feyn]

Hejka! Mam takie zadania które próbowałam rozwiązać. Czy mógł by ktoś rzucić okiem?

Wiedząc że zmienna losowa \(\displaystyle{ X }\) ma rozkład normalny i wartość oczekiwaną równą \(\displaystyle{ 0 }\), znajdź odchylenie standardowe w następujących przypadkach, gdy wiadomo że:

\(\displaystyle{ a) }\) Prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P(-4<X<4) = 0.954 }\)
To jest łatwe bo z twierdzenia trzech sigm wiemy że dla \(\displaystyle{ (x - 2 \sigma ,x + 2 \sigma )}\)
\(\displaystyle{ b) }\) Prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P(X<-15) = 0.0015 }\)
To zrobiłam tak że od jedynki odjęłam ten ułameczek i odjęłam go od jedynki. Znalazłam tą wartość na tablicy i z symetrii zmieniłam znak tego co mi wyszło czyli: \(\displaystyle{ -2.96 }\). A to dalej standaryzowałam \(\displaystyle{ \Phi }\) co na koniec dało mi \(\displaystyle{ 5.067 }\)
\(\displaystyle{ c) }\) Prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P(-1.348 < X < 1.348) = 0.5 }\)
To zrobiłam podobnie jak wyżej z tym że w tablicach wyszukałam \(\displaystyle{ \frac{1}{4} }\)
\(\displaystyle{ d) }\) Prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P(X>4.935) = 0.05 }\)
A to jak na moje jest nie do rozwiązania ponieważ prawdopodobieństwo w wartości oczekiwanej powinno wynosić \(\displaystyle{ \frac{1}{2} }\) a dalej powinno być wyższe.

[Janusz Tracz]

Ja osobiście robił bym to tak, że zapisał bym ogólnie:

\(\displaystyle{ \mathbb{P}( x_1\le X\leqslant x_2)=\int \limits _{x_1 }^{x_2}{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{\frac {-(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}} \dd x }\)

gdzie \(\displaystyle{ x_1,x_2}\) w szczególności mogą być \(\displaystyle{ \pm \infty }\). A jako, że znamy \(\displaystyle{ \mu=0}\) to wzór upraszcza się do:

\(\displaystyle{ \mathbb{P}( x_1\le X\leqslant x_2)=\int \limits _{x_1 }^{x_2}{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{\frac {-x^{2}}{2\sigma ^{2}}} \dd x }\)

I teraz przy użyciu metod numerycznych szukał bym takiego \(\displaystyle{ \sigma}\) aby zachodził konkretny warunek. Przykładowo w \(\displaystyle{ (d)}\) zapisał bym równanie:

\(\displaystyle{ \mathbb{P}( 4.935\le X)=\int \limits _{4.935 }^{ \infty }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{\frac {-x^{2}}{2\sigma ^{2}}} \dd x=0.05 }\)

i uważam, że to ma rozwiązania: \(\displaystyle{ \sigma \approx 3.00026527588152145317364430...}\)

[janusz47]

Jest do rozwiązania chyba prościej:

\(\displaystyle{ P(\{X >4.935\}) = 1 - P(\{ X \leq 4,935\}) = 1 - P\left(Z \leq \frac{4,935 -0}{\sigma} \right) = 1 - \phi\left(\frac{4,935}{\sigma}\right) = 0,05,}\)

\(\displaystyle{ \phi\left( \frac{4,935}{\sigma}\right) = 0,95, }\)

\(\displaystyle{ \frac{4,935}{\sigma} = \phi^{-1}(0,95) = 1,645, }\)

\(\displaystyle{ \sigma = \frac{4,935}{1,645} = 3. }\)

Program R (lub tablica dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego \(\displaystyle{ \mathcal{N}(0, 1)).}\)

Kod: Zaznacz cały

> q = qnorm(0.95)
> q
[1] 1.644854