Funkcja generująca momenty-ujemny rozkład dwumianowy

[max123321]

Wyznacz funkcję generującą momenty, następnie funkcję generującą kumulanty, a na jej podstawie wartość oczekiwaną, wariancję oraz współczynnik skośności następujących rozkładów:
c) Ujemnego dwumianowego o funkcji prawdopodobieństwa określonej na zbiorze \(\displaystyle{ \left\{ 0,1,2,...\right\} }\)
wzorem \(\displaystyle{ P_r(N=k)= {r+k-1 \choose k}(1-q)^rq^k }\)

Nie wiem za bardzo jak obliczyć tą funkcję generującą momenty to znaczy nie wiem jak to zwinąć:
\(\displaystyle{ M_X(t)=E(e^{tX})= \sum_{k=0}^{\infty}e^{tk} {r+k-1 \choose k}(1-q)^rq^k }\),
Może mi ktoś pomóc z tym jak to zwinąć?

Dodano po 10 godzinach 41 minutach 35 sekundach:
Może mi ktoś pomóc?

[Tmkk]

Zostawmy na chwilę te funkcję generującą momenty i popatrzmy na sam ujemny rozkład dwumianowy. Czy umiesz pokazać, że prawdopodobieństwa sumują się do jedynki? Tzn

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^\infty {r+k-1 \choose k}(1-q)^rq^k = 1}\)

[max123321]

Niestety chyba nie umiem. Słabo w ogóle rozumiem ten rozkład.

[Tmkk]

Oki, więc ustalamy liczbę naturalną \(\displaystyle{ r}\) i ciąg \(\displaystyle{ X_1,X_2,\ldots}\) niezależny zmiennych o rozkładzie Bernoulliego. Ujemny rozkład dwumianowy polega na obserwowaniu tego ciągu aż do momentu \(\displaystyle{ r}\)-tej porażki. Wtedy bierzemy ten moment i przesuwamy go o \(\displaystyle{ r}\) do tyłu.
Dokładniej mówiąc, jeśli \(\displaystyle{ X \sim NB(r,q)}\), to \(\displaystyle{ X = k}\) zajdzie wtedy, kiedy w \(\displaystyle{ (k+r)}\)-tej próbie będzie porażka, a wśród \(\displaystyle{ X_1,X_2,\ldots ,X_{k+r-1}}\) było \(\displaystyle{ r-1}\) porażek. Stąd widzimy, że

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(X=k) = {r + k -1 \choose r-1}(1-q)^rq^k = {r + k -1 \choose k}(1-q)^rq^k}\).

Aby sprawdzić, że te prawdopodobieństwa sumują się do jedynki, najprościej jest zbadać ten symbol Newtona. Przypomnijmy sobie uogólnony symbol Newtona, dla \(\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{R}}\) oraz \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\) jest

\(\displaystyle{ {\alpha \choose n} = \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\ldots(\alpha-n+1)}{n!}}\).

Wobec tego:

\(\displaystyle{ {r + k -1 \choose k} = \frac{r(r+1)(r+2)\ldots(r+k-1)}{k!} = (-1)^k\frac{(-r)(-r-1)(-r-2)\ldots(-r-k+1)}{k!} = (-1)^k{-r \choose k}}\)

No i super, pozostało tylko zaobserwować, że tu pojawia się ładnie dwumian Newtona (z rozwinięcia funkcji w szereg): dla \(\displaystyle{ |x| < 1, \alpha \in \mathbb{R}}\) zachodzi \(\displaystyle{ (1+x)^{\alpha} = \sum_{n=0}^\infty {\alpha \choose n}x^n}\), czyli

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^\infty {r+k-1 \choose k}(1-q)^rq^k = (1-q)^r \sum_{k=0}^\infty (-1)^k{-r \choose k}q^k = (1-q)^r \sum_{k=0}^\infty {-r \choose k}(-q)^k = (1-q)^r(1-q)^{-r} = 1}\)

Dobrze, to teraz jeśli chodzi o funkcję generującą momenty, to będzie dokładnie ten sam rachunek. Zauważ, że \(\displaystyle{ e^{tk}q^k = (e^tq)^k}\), więc o ile \(\displaystyle{ t < -\log{q}}\), to wszystko się ładnie zwija.

[max123321]

Aha to w ten sposób. Wiedziałem, że jest coś takiego jak uogólniony symbol Newtona, ale nie przyszło mi do głowy, żeby tutaj tego użyć. Ok, teraz już wszystko jest jasne. Dzięki.