Znajdź dystrybuantę

[max123321]

Może ktoś mi powiedzieć, czy dobrze to policzyłem?

[Tmkk]

To nie może być dobrze, bo Twoja dystrybuanta będzie przyjmować np. wartości ujemne (weź chociażby \(\displaystyle{ w=0}\)). Pojawia się u Ciebie napis \(\displaystyle{ \int_0^{w-1} 1\mbox{d}x}\). A co jak \(\displaystyle{ w < 1}\)?

Tak się nie uda, żeby na raz wszystko wyliczyć. Początkowe dystrybuanty mają jakieś klamerki, więc ta ich splot pewnie też będzie miał. Podsumowując masz, że

\(\displaystyle{ F_{X_1+X_2}(w) = \int_{-\infty}^{+\infty} F_2(w-x)\mbox{d}F_1(x) = 0.8F_2(w) + 0.1F_2(w-1) + 0.1\int_0^1 F_2(w-x)dx}\).

Teraz trzeba podzielić na przypadki, polecam rozpatrzeć: \(\displaystyle{ w < 0; \ w = 0; \ w \in (0,1); \ w=1; \ w \in (1,2); \ w \ge 2 }\).

a) gdy \(\displaystyle{ w<0}\) to:
\(\displaystyle{ F_2(w) = F_2(w-1) = 0}\) oraz pod całką, gdy \(\displaystyle{ x \in (0,1)}\), to \(\displaystyle{ w-x \in (w-1, w)}\), więc \(\displaystyle{ F_2(w-x) = 0}\) no i jest całka z zera. Czyli na tym przedziale, dystrybuanta będzie równa \(\displaystyle{ 0}\).

b) gdy \(\displaystyle{ w=0}\), to:
Drugi czynnik się zeruje, bo \(\displaystyle{ F_2(0-1) = F_2(-1) = 0}\), całka też jest równa zero, ale pierwszy czynnik: \(\displaystyle{ 0.8F_2(0) = 0.8\cdot (0.7+0.2\cdot 0) = 0.56}\).

c) gdy \(\displaystyle{ w \in (0,1)}\) to:
Drugi czynnik to nadal zero, ale zmienia się pierwszy i co ważniejsze, pod całką już pojawia się niezerowa funkcja (ale uwaga, nie na całym przedziale \(\displaystyle{ (0,1)}\)!).

Spróbuj dokończyć i sprawdzić, czy wychodzi ostatecznie dystrybuanta (w szczególności, że jest niemalejąca i ma odpowiednie wartości "na końcach").

[max123321]

Nie no gubię się z tymi dwoma zmiennymi \(\displaystyle{ w}\) i \(\displaystyle{ x}\). Coś policzyłem, ale wyszło mi, że ta dystrybuanta nie jest prawostronnie ciągła, a chyba powinna być. Możesz rozmontować ten przypadek kiedy \(\displaystyle{ w \in (0,1)}\)?

[Tmkk]

Kiedy \(\displaystyle{ w \in (0,1)}\), to:
- pierwszy czynnik: \(\displaystyle{ 0.8F_2(w) = 0.8\cdot (0.7 + 0.2w) = 0.56 + 0.16w}\);
- drugi czynnik: \(\displaystyle{ 0.1F_2(w-1) = 0}\), bo \(\displaystyle{ w-1}\) jest ujemne.
- trzeci czynnik to:

\(\displaystyle{ \int_0^1 F_2(w-x)\mbox{d}x = \int_0^w F_2(w-x)\mbox{d}x + \int_w^1 F_2(w-x)\mbox{d}x = \int_0^w 0.7 + 0.2(w-x) \mbox{d}x + \int_w^1 0 \mbox{d}x}\).

To się jeszcze mnoży przez \(\displaystyle{ 0.1}\) i mi wyszło coś w stylu: \(\displaystyle{ F_2(w) = 0.56 + 0.23w + 0.01w^2}\).

[max123321]

Ok to już chyba wiem, wyszło mi tak:
\(\displaystyle{ F_w(w)= \begin{cases} 0 \text{ dla } w<0 \\ 0,56+0,23w+0,01w^2 \text{ dla } w \in \langle 0,1)\\0,89+0,07w-0,01w^2 \text{ dla } w \in \langle1,2)\\1 \text{ dla } w \ge 2 \end{cases} }\)
Czy tak jest dobrze?

[Tmkk]

Tak, też mi tyle wyszło.