Przestrzenie zdarzeń elementarnych

[eldamiano22]

Witam!

W doświadczeniu polegającym na wrzuceniu 6 kul do 3 urn U1, U2 i U3 obliczyć prawdopodobieństwo klasyczne następujących zdarzeń
a) w pierwszej urnie jest 1 kula, w drugiej 2 a w trzeciej 3 kule;
Rozpatrzyć przynajmniej dwie różne skończone przestrzenie zdarzeń elementarnych.

Moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \frac{{6\choose 1}{5\choose 2}{3\choose 3}}{ 3^{6} } }\)

Wydaje mi się, że jest dobrze ale najbardziej mnie ciekawi dalsza część zadania. W jaki sposób ponownie zrobić to zadanie, ale z drugą przestrzenią zdarzeń elementarnych?

[janusz47]

Doświadczenie losowe polega na wrzucaniu sześciu kul do trzech urn \(\displaystyle{ U_{1}, U_{2}, U_{3}. }\)

Model 1 (rozróżnialne kule i rozróżnialne urny)

Numerujemy kule:

\(\displaystyle{ \{ 1,2,3,4,5,6 \} }\)

\(\displaystyle{ [Kule \ \ \{1,2,3,4, 5 ,6\} ] \rightarrow [ Urny \ \ \{ 1, 2 , 3 \}] }\)

Przestrzenią probabilistyczną dla tego doświadczenia losowego jest trójka uporządkowana:

\(\displaystyle{ (\Omega_{1}, \ \ 2^{\Omega_{1}}, \ \ P_{1}) }\)

\(\displaystyle{ \Omega_{1} =\{\omega: \omega = f: \{ 1,2,3,4,5,6\} \rightarrow \{ 1,2,3\} \} }\)

Zakładamy, że każda z kul ma taką samą szansę znalezienia się w każdej z trzech urn.

Pierwszej kuli można na trzy sposoby przypisać urnę.

Drugiej kuli można na trzy sposoby przypisać urnę.
...............................................................
Szóstej kuli można na trzy sposoby przypisać urnę.

Stąd

\(\displaystyle{ |\Omega_{1}| = 3^{6}. }\)

\(\displaystyle{ 2^{\Omega_{1}} }\) - klasa zdarzeń probabilizowalnych (wszystkich możliwych podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \Omega }\) łącznie ze zdarzeniem pewnym i niemożliwym).

\(\displaystyle{ P(\omega_{i}) = W_{3}^{6} = \frac{1}{3^6},\ \ i = 1,2,...,729. }\)

\(\displaystyle{ A_{123} }\) - zdarzenie "w pierwszej urnie jest jedna kula i w drugiej urnie są dwie kule i w trzeciej urnie są trzy kule".

\(\displaystyle{ A_{123} = A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} }\)

\(\displaystyle{ |A_{123}| = V_{6}^{1}\cdot V_{5}^{2}\cdot V_{3}^{3} }\)

\(\displaystyle{ |A_{123}| = 6\cdot 20\cdot 3 = 360}\)

Stąd

\(\displaystyle{ P(A_{123}) = \frac{360}{729}= \frac{40}{81} }\)

Interpretacja otrzymanej wartości prawdopodobieństwa

W wyniku realizacji doświadczenia losowego możemy oczekiwać, że w około \(\displaystyle{ 50\% }\) ogólnej liczbie wyników w pierwszej urnie znajdzie się jedna kula i w drugiej urnie dwie kule i w trzeciej urnie trzy kule.

Opierając się na tym modelu proszę zbudować drugi model probabilistyczny dla kul nierozróżnialnych i urn rozróżnialnych.

[eldamiano22]

\(\displaystyle{ |\Omega_{1}| = 3^{6}}\)

Tutaj skorzystałbym z kombinacji z powtórzeniami.

\(\displaystyle{ \frac{{3 + 1 - 1\choose 1}{3 + 2 - 1\choose 2}{3 + 3 - 1\choose 3}}{ 3^{6} }}\)

Miałbym jeszcze cztery pytania.
W jaki sposób rozumieć w zadaniach słowa "rozróżnialne" i "nierozróżnialne"?
Dlaczego użył Pan wariacji bez powtórzeń?
Czy mój przykład, który rozwiązałem też jest dobrze (ten w pierwszym poście z kombinacjami)?
Czy jak rozwiążę to zadanie tym drugim modelem to właśnie w ten sposób rozpatrzyłem dwie różne skończone przestrzenie zdarzeń elementarnych?

[janusz47]

W przypadku modelu kul nierozróżnialnych w zapisie mianownika zamiast \(\displaystyle{ 3^{6} }\) powinno być \(\displaystyle{ {6 +3 -1 \choose 3}}\)

Użyłem wariacji bez powtórzeń, bo istotna jest kolejność występowania kul w poszczególnych urnach.

Przykład, który rozwiązał Pan jest błędny.

Przestrzeń probabilistyczna skończona to trójka \(\displaystyle{ (\Omega , \ \ 2^{\Omega}, P), }\) a nie jeden wzór na obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia.

[eldamiano22]

Czyli odpowiedzią poprawną jest:

\(\displaystyle{ \frac{{3 + 1 - 1\choose 1}{3 + 2 - 1\choose 2}{3 + 3 - 1\choose 3}}{ {6 +3 -1 \choose 3} }}\)

Czyli powinienem napisać jeszcze, że \(\displaystyle{ \Omega_{2}}\) równa się \(\displaystyle{ {6 +3 -1 \choose 3}}\)
Do tego powinienem dopisać jeszcze ile do \(\displaystyle{ 2^{\Omega_{2}} }\)?

W ten sposób rozpatrzyłem dwie skończone przestrzenie zdarzeń elementarnych?

[janusz47]

Jeszcze proszę rozpisać zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych \(\displaystyle{ \Omega_{2}. }\)

[eldamiano22]

Myślę, że będzie taki sam jak ostatnio, że kule przypisujemy urnom.

\(\displaystyle{ \Omega_{2} =\{\omega: \omega = f: \{ 1,2,3,4,5,6\} \rightarrow \{ 1,2,3\} \}}\)

[janusz47]

Proszę dopisać \(\displaystyle{ \wedge \sum_{i=1}^{3} f(i) = 6.}\)

[eldamiano22]

\(\displaystyle{ \Omega_{2} =\{\omega: \omega = f: \{ 1,2,3,4,5,6\} \rightarrow \{ 1,2,3\} \wedge \sum_{i=1}^{3} f(i) = 6\}}\)

A dlaczego zostało to dodane?

[janusz47]

Można rozpytywać jeszcze modele wrzucania kul ze zwracaniem wrzuconych kul.
Można rozpatrywać zdarzenia:
- "nie więcej niż jedna kula w każdej urnie",
- "przynajmniej jedna kula w każdej urnie".
Zachęcam do budowy tych modeli.

Dodano po 3 minutach :
Ze względu na nierozróżnialność, nie jest istotne które kule są w danej urnie, ważna jest ich liczba.

[eldamiano22]

Dobrze, dziękuję za pomoc. Odpowiedź, którą napisałem jest poprawna, zgadza się?

[janusz47]

Nie zgadza się, bo prawdopodobieństwo jest większe od jeden.

[eldamiano22]

To w jaki sposób wrzucamy kule nierozróżnialne?

[janusz47]

W Pana modelu wybieramy urnę I wrzucamy kule, wybieramy urnę II wrzucamy kule, wybieramy urnę III wrzucamy kulę. Brak jest losowości wyboru trzech urn.

[eldamiano22]

W jaki sposób dodać tą losowość?