Ile jest wszystkich podzbiorów sześcioelementowych zbioru {1,2,...,2n}, w których nie występuje cyfra 1 i 6?

[Salami]

Ile jest wszystkich podzbiorów sześcioelementowych zbioru \(\displaystyle{ {1,2,...,2n}}\), w których nie występuje cyfra \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 6}\)?
Czy odpowiedź to \(\displaystyle{ \binom{2n-2}{4}}\)?

Jeżeli nie to mógłby ktoś wytłumaczyć jak to zrobić?

[Janusz Tracz]

Nie po \(\displaystyle{ 4}\) tylko po \(\displaystyle{ 6}\). Bo wciąż z \(\displaystyle{ 2n-2}\) elementów wybierasz \(\displaystyle{ 6}\).

[a4karo]

Tylko zauważę, że w zbiorze `\{4,8,9,16,23,25\}` występuje zarówno cyfra 1 jak i cyfra 6.

[Janusz Tracz]

Tylko zauważę, że w zbiorze `\{4,8,9,16,23,25\}` występuje zarówno cyfra 1 jak i cyfra 6.

Nie jestem pewien czy o taką interpretację chodziło co nie zmiana faktu, że bardzo mi się ona podoba. Próbowałem to wtedy zrobić zapisując:

\(\displaystyle{ \left\{ 1,2,3,...,2n\right\}= \left( \bigsqcup_{\ell=0}^{\left\lfloor \lg_{10}2n\right\rfloor-1} \left\{x\in\mathbb{N}:10^{\ell} \leq x \leq 10^{\ell+1} -1\right\} \right) \sqcup \left\{y\in\mathbb{N}:10^{\left\lfloor \lg_{10}2n\right\rfloor} \leq y \leq 2n \right\} }\)

Co po porostu mówi tyle, że zbiór \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,3,...,2n\right\}}\) podzieliłem na parami rozłączne zbiory składające się z elementów o tej samej liczbie cyfr w zapisie. Niech teraz \(\displaystyle{ \mathcal{L}\left( A\right) }\) oznacza liczbę liczb w zbiorze \(\displaystyle{ A}\) bez ani jednej cyfry jeden oraz sześć w swoim zapisie wtedy:

\(\displaystyle{ \mathcal{L} \left( \left\{x\in\mathbb{N}:10^{\ell} \leq x \leq 10^{\ell+1} -1\right\}\right)= 7 \cdot 8^{\ell}}\)

Zatem:

\(\displaystyle{ \mathcal{L} \left( \left\{ 1,2,...,2n\right\}\right) =\mathcal{L} \left( \bigsqcup_{\ell=0}^{\left\lfloor \lg_{10}2n\right\rfloor-1} \left\{x\in\mathbb{N}:10^{\ell} \leq x \leq 10^{\ell+1} -1\right\} \right) + \mathcal{L} \left( \left\{y\in\mathbb{N}:10^{\left\lfloor \lg_{10}2n\right\rfloor} \leq y \leq 2n \right\}\right) }\)

\(\displaystyle{ \mathcal{L} \left( \left\{ 1,2,...,2n\right\}\right) =\sum_{\ell=0}^{\left\lfloor \lg_{10}2n\right\rfloor-1} 7 \cdot 8^\ell+ \red{\mathcal{L} \left( \left\{y\in\mathbb{N}:10^{\left\lfloor \lg_{10}2n\right\rfloor} \leq y \leq 2n \right\}\right)} }\)

jednak czerwona część jest problematyczna, co gorsza stanowi ona znaczą część takiej sumy. Raczej nie mam pomysłu jak sobie z nią poradzić bez założenia, że \(\displaystyle{ \blue{n}}\) jest postaci \(\displaystyle{ \blue{2^{m-1}5^m}}\). Gdyby tak się akurat zdarzyło, że \(\displaystyle{ \blue{n=2^{m-1}5^m}}\) to:

\(\displaystyle{ \mathcal{L} \left( \left\{ 1,2,...,\blue{2n}\right\}\right) =\sum_{\ell=0}^{m-1} 7 \cdot 8^\ell+ \underbrace{\mathcal{L} \left( \left\{y\in\mathbb{N}:10^{m} \leq y \leq 2n \right\}\right)}_{=0\text{ bo } 10^m \text{ ma }1 \text{ w swoim zapisie }} }\)

\(\displaystyle{ \mathcal{L} \left( \left\{ 1,2,...,\blue{2n}\right\}\right) =8^m-1 }\)

Zatem w tym szczególnym przypadku tj.: \(\displaystyle{ \blue{2n=10^m}}\) było by \(\displaystyle{ {8^m-1 \choose 6} }\) takich \(\displaystyle{ 6}\) elementowych podzbiorów podzbiorów. Ogólnego przypadku (czerwona część) jawnie wyrazić nie umiem.

[Salami]

Wątpię że chodziło o taką interpretację, zadanie jest z mojego poprzedniego testu gdzie rozwiązania powinny zająć chwilę.


Jest to pewniak na poprawię więc próbuję robić podobne zadania...
Ile jest wszystkich podzbiorów trzyelementowych zbioru \(\displaystyle{ \{1,2,...2n\}}\) w których występuje cyfra \(\displaystyle{ 1}\)?
\(\displaystyle{ \binom{2n-1}{2}}\)?

Jaka jest najlepsza metoda do zrozumienia tego typu zadania (zbiór \(\displaystyle{ X}\) elementowy \(\displaystyle{ \{1,2,...2n\}}\) w których występuje/nie występuje liczba \(\displaystyle{ a}\) | \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\))??

[Tmkk]

Zacznij od próby zrozumienia poprzedniego przykładu (zgodnie z odpowiedzią Janusza Tracza).

[a4karo]

Wątpię że chodziło o taką interpretację, zadanie jest z mojego poprzedniego testu gdzie rozwiązania powinny zająć chwilę.


Jest to pewniak na poprawię więc próbuję robić podobne zadania...
Ile jest wszystkich podzbiorów trzyelementowych zbioru {1,2,...2n} w których występuje cyfra 1?
\(\displaystyle{ \binom{2n-1}{2}}\)?

Jaka jest najlepsza metoda do zrozumienia tego typu zadania (zbiór X elementowy {1,2,...2n} w których występuje/nie występuje liczba a | a i b)??

Zacznij od zrozumienia różnicy pomiędzy cyfrą i liczbą, bo to jest tu kluczowe.

[Salami]

@a4karo
Wiem jaka jest różnica, na wykładzie był podobny przykład gdzie w treści było napisane 'cyfra' a rozwiązanie traktowało to jako 'liczba'.
Nie jestem ekspertem z matematyki ale postanowiłem zaufać naszej Pani Profesor z probabilistyki i zostawić treść tak jak była bo może faktycznie czegoś nie zrozumiałem.

Rozwiązania nie były rozpisane tak jak zrobił to Pan Janusz Tracz, więc raczej jednak chodzi o liczby.