Rozkład wektora losowego (X,Y) dany jest tabelą

[Salami]

Rozkład wektora losowego \(\displaystyle{ (X,Y)}\) dany jest tabelą
\begin{bmatrix}
X/Y &-1 & 0 & 1\\
0 & \frac{1}{10} & 0 & \frac{4}{10}\\
1 & 0 & \frac{1}{10} & 0\\
2 & \frac{2}{10} & 0 & \frac{2}{10}
\end{bmatrix}

a) wyznaczyć rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\).
b) obliczyć kowariancję zmiennych losowych \(\displaystyle{ X}\),\(\displaystyle{ Y}\)
c) czy zmienne losowe \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są niezależne?



a)

\(\displaystyle{ P(X=0)=\frac{5}{10}}\)

\(\displaystyle{ P(X=1)=\frac{1}{10}}\)

\(\displaystyle{ P(X=2)=\frac{4}{10}}\)


b)
\(\displaystyle{ EX= \frac{1}{10}+\frac{4}{10}\frac{4}{10}=\frac{9}{10}}\)

\(\displaystyle{ EY= -\frac{1}{10}-\frac{2}{10}+\frac{4}{10}+\frac{2}{10}=\frac{3}{10}}\)
\(\displaystyle{
EXY= -\frac{4}{10}+\frac{4}{10}=0}\)

\(\displaystyle{ EXEY= \frac{9}{10} \cdot \frac{3}{10} = \frac{27}{100}}\)

\(\displaystyle{ Cov(X,Y)= -\frac{27}{100}}\)

c) Iloczyn wartości brzegowych nie jest równy \(\displaystyle{ \frac{1}{10}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{10} \neq \frac{5}{10} \cdot \frac{3}{10}}\)

Mógłby ktoś sprawdzić czy dobrze to zrobiłem?

@Edit
Napisałem program do liczenia tych szukanych, wyniki zgadzają się z tym co obliczyłem

Kod: Zaznacz cały

https://imgur.com/a/utlHvdm

Pytanie tylko czy logika robienia była dobra... (program potwierdził tylko brak błędów w rachunkach)

[janusz47]

a)
Rozkład brzegowy zmiennej losowej \(\displaystyle{ X }\) wyznaczyłeś poprawnie.

b)
Skorzystaj z definicji wartości oczekiwanej zmiennej losowej dyskretnej:

\(\displaystyle{ E(X) = 0 \cdot P(\{X=0\}) + 1\cdot P(\{X=1\}) + 2\cdot P(\{X=2\}) =.... }\)

Wyznacz rozkład brzegowy zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y }\)

\(\displaystyle{ P(\{Y=-1\}) = ..., P(\{Y= 0\}) =..., P(\{Y = 1\}) =...}\)

Oblicz

\(\displaystyle{ E(Y) = ...}\)

[Salami]

\(\displaystyle{ P(Y=-1)=\frac{3}{10}}\)

\(\displaystyle{ P(Y=0)=\frac{1}{10}}\)

\(\displaystyle{ P(Y=1)=\frac{6}{10}}\)



\(\displaystyle{ E(Y)=(-1 \cdot \frac{3}{10}) + (0 \cdot \frac{1}{10}) + (1 \cdot \frac{6}{10}) = \frac{3}{10}}\)
Czyli się zgadza



To znaczy że reszta szukanych jest dobrze obliczona?
Gdyby wszystko było poprawnie to mógłbym już ćwiczyć i sprawdzać zadania tego typu samemu szybką metodą.

[janusz47]

Napisz wzór na kowariancję i jeszcze raz ją oblicz.

[Salami]

Wzór z wykładu

Kod: Zaznacz cały

https://imgur.com/a/NgDFcj9

\(\displaystyle{ cov(X,Y)=EXY-(EX)(EY)}\)

\(\displaystyle{ EXY=0}\)

\(\displaystyle{ (EX)(EY)=\frac{27}{100}}\)

\(\displaystyle{ cov(X,Y)=0-\frac{27}{100}=-\frac{27}{100}}\)

Wychodzi tak samo, czyżbym czegoś tu nie załapał?

[janusz47]

\(\displaystyle{ E(XY) = \sum_{x=0}^{2}\sum_{y=-1}^{1} x\cdot y \cdot p_{(X,Y)} = 0 }\)

Wynik masz dobry, pokaż jak liczysz wartość oczekiwaną - łączną.

[Salami]

\(\displaystyle{ EXY=}\)

\(\displaystyle{ (0 \cdot -1 \cdot \frac{1}{10}) + (0 \cdot 0 \cdot 0) + (0 \cdot 1 \cdot \frac{4}{10}) + }\)

\(\displaystyle{ (1 \cdot -1 \cdot 0) + (1 \cdot 0 \cdot \frac{1}{10}) + (1 \cdot 1 \cdot 0) +}\)

\(\displaystyle{ (2 \cdot -1 \cdot \frac{2}{10}) + (2 \cdot 0 \cdot 0) + (2 \cdot 1 \cdot \frac{2}{10})=}\)

\(\displaystyle{ (0+0-\frac{4}{10}+\frac{4}{10})=0}\)


\(\displaystyle{ (EX)(EY)=EX \cdot EY = \frac{9}{10} \cdot \frac{3}{10}=\frac{27}{100}}\)

[janusz47]

Dobrze policzyłeś.