Tak na szybko, abstrahując od przykładów.
W zadaniu mamy wylosować punkt z okręgu i gęstość uzależnić od promienia r.
A zatem dystrybuanta będzie dana wzorem
\(\displaystyle{ P(X \le r)}\)
Losując punkt z okręgu o promieniu 2, prawdopodobieństwem trafienia w mniejszy okrąg o promieniu r, będzie iloraz ich powierzchni.
\(\displaystyle{ P(X \le r) = \frac{\pi r^2}{\pi 2^2} = \frac{r^2}{4}}\)
Licząc pochodną po r otrzymamy gęstość:
\(\displaystyle{ f(r) = \frac{r}{2}}\)
HA! Widzę że nieściśle to zrobiłem. A w książce jest to super pokazane. Dokończę później...
Dodano po 19 godzinach 59 minutach 34 sekundach:
Re: Losujemy punkt z okręgu o środku w punkcie (0, 0 ) i promieniu 2. Niech X oznacza odległość wylosowanego punktu od (0,0)
To wyjaśnię przykład b)
.
Zmienna losowa X to odległość wylosowanego punktu x od 0. Co ważne żeby sobie uświadomić, to to że zmienna losowa jest funkcją. W tym wypadku
\(\displaystyle{ X(x)=\left| x\right| }\)
a jej argumentami są zdarzenia losowe.
Natomiast prawdopodobieństwo określamy w taki sposób, że dla odcinka A (zdarzenie losowe) jest ono ilorazem długości tego odcinka i długości
\(\displaystyle{ \Omega}\).
I teraz patrząc na wzór na dystrybuantę zmiennej losowej X
\(\displaystyle{ F(t) = P(X \le t)}\),
zastanawiamy się dla jakich argumentów zmiennej X jest to spełnione.
\(\displaystyle{ F(t) = P(X \le t)= P(x:X(x) \le t)}\) ,
Znając dla jakich argumentów, policzymy ich długość i dzieląc przez długość
\(\displaystyle{ \Omega}\) otrzymamy prawdopodobieństwo.
A teraz jak to zostało zaprezentowane na wykresie. Na osi OX mamy odłożone wartości x. A oś OY to wartości zmiennej losowej - w tym przypadku jest to wykres funkcji
\(\displaystyle{ X(x)=\left| x\right|}\), dla
\(\displaystyle{ x \in [-3,5] }\).
Poziomą linią przerywaną przedstawiona jest wartość
\(\displaystyle{ t}\), czyli argument dystrybuanty. Patrzymy która część wykresu jest poniżej t i jakie argumenty X(x) temu odpowiadają.W przykładzie oznaczone są one pogrubioną linią na osi OX - jest odcinek [-t, t]. Teraz wystarczy obliczyć długość tego odcinka. Dla rysunku będzie ona wynosiła 2t. Czyli prawdopodobieństwo dla niego
\(\displaystyle{ \frac{2t}{8}}\).
Dla t>3 dostajemy cały odcinek dla ujemnych wartości x-a, czyli odcinek [-3,0] którego długość to 3 oraz to co jest po prawej stronie od 0, o długości t. Czyli długość tego odcinka to t+3 i prawdopodobieństwo
\(\displaystyle{ \frac{t+3}{8}}\).
