W urnie znajdują się 3 kule czerwone, 2 białe i 1 zielona. Losujemy z urny 3 kule - bez zwrotu i jednocześnie.

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Salami
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 2 cze 2019, o 13:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 13 razy

W urnie znajdują się 3 kule czerwone, 2 białe i 1 zielona. Losujemy z urny 3 kule - bez zwrotu i jednocześnie.

Post autor: Salami »

W urnie znajdują się \(\displaystyle{ 3}\) kule czerwone, \(\displaystyle{ 2}\) białe i \(\displaystyle{ 1}\) zielona. Losujemy z urny \(\displaystyle{ 3}\) kule - bez zwrotu i jednocześnie.
Niech \(\displaystyle{ X}\) oznacza liczbę wylosowanych kul czerwonych.
a) wyznaczyć rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\).
b) obliczyć \(\displaystyle{ P(X > 1)}\) oraz \(\displaystyle{ P(X=3|X>1)}\)
c) obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\).

Moja próba:

a)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
x &0 & 1 & 2 & 3\\
p & \frac{1}{6} & \frac{2}{6} & \frac{2}{6} & \frac{1}{6}
\end{bmatrix}}\)


\(\displaystyle{ \{CCC\}, \{CCB\}, \{CBB\}, \{BBZ\}, \{CCZ\}, \{CZB\}}\)

b)
\(\displaystyle{ P(X>1)=\frac{2}{6} +\frac{1}{6} =\frac{1}{2} }\)
\(\displaystyle{ P(X=3|x>1)=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{2}{6}+\frac{1}{6}}= \frac{1}{6} \cdot\frac{6}{3} =\frac{1}{3} }\)


c)

\(\displaystyle{ EX=\frac{2}{6}+\frac{4}{6}+\frac{3}{6}=\frac{3}{2}}\)
\(\displaystyle{ (EX)^{2}=\frac{9}{4}}\)
\(\displaystyle{ EX^{2}=1^{2} \cdot\frac{2}{6}+2^{2}\cdot\frac{2}{6}+3^{2}\cdot\frac{1}{6}=\frac{15}{6}}\)
\(\displaystyle{ Var=\frac{15}{6}-\frac{9}{4}=\frac{1}{4}}\)
Ostatnio zmieniony 7 wrz 2020, o 08:39 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot. Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: W urnie znajdują się 3 kule czerwone, 2 białe i 1 zielona. Losujemy z urny 3 kule - bez zwrotu i jednocześnie.

Post autor: kerajs »

Pierwszy błąd, i to rachunkowy. jest dopiero tu:
Salami pisze: 7 wrz 2020, o 01:23 \(\displaystyle{ EX^{2}=1^{2} \cdot\frac{2}{6}+2^{2}\cdot\frac{2}{6}+3^{2}\cdot\frac{1}{6}=\frac{15}{6}}\)
\(\displaystyle{ Var=\frac{15}{6}-\frac{9}{4}=\frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ EX^{2}=1^{2} \cdot\frac{2}{6}+2^{2}\cdot\frac{2}{6}+3^{2}\cdot\frac{1}{6}=\frac{19}{6}}\)
\(\displaystyle{ Var=\frac{19}{6}-\frac{9}{4}=\frac{11}{12}}\)
micd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 4 wrz 2020, o 18:24
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 4 razy

Re: W urnie znajdują się 3 kule czerwone, 2 białe i 1 zielona. Losujemy z urny 3 kule - bez zwrotu i jednocześnie.

Post autor: micd »

Błąd jest jednak już wcześniej - w podpunkcie a).

Losujemy 3 kule ze zbioru 6-ciu kul. Da nam to \(\displaystyle{ {6 \choose 3}}\) , czyli 20 sposobów na jakie możemy to zrobić.

A na ile sposobów możemy wylosować, przykładowo, 1 kulę czerwoną? Spośród 3 kul czerwonych wybieramy 1 na \(\displaystyle{ {3 \choose 1}}\) sposobów (czyli 3, bo każdą z 3 kul możemy wybrać), i spośród 3 pozostałych kul o innym kolorze wybieramy 2 kule na \(\displaystyle{ {2 \choose 1}}\) sposoby, co w sumie nam daje:
\(\displaystyle{ {3 \choose 1} \cdot{3 \choose 2} = 9 }\)
sposobów.

Dzieląc jedne przez drugie otrzymujemy prawd \(\displaystyle{ \frac{9}{20}}\). Pozostałe analogicznie.

Jeśli będzie potrzeba, wyjaśnię bardziej szczegółowo.
Ostatnio zmieniony 7 wrz 2020, o 22:51 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
Salami
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 2 cze 2019, o 13:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 13 razy

Re: W urnie znajdują się 3 kule czerwone, 2 białe i 1 zielona. Losujemy z urny 3 kule - bez zwrotu i jednocześnie.

Post autor: Salami »

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
x &0 & 1 & 2 & 3\\
p & \frac{1}{20} & \frac{9}{20} & \frac{9}{20} & \frac{1}{20}
\end{bmatrix}}\)

Dobrze zrozumiałem?
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: W urnie znajdują się 3 kule czerwone, 2 białe i 1 zielona. Losujemy z urny 3 kule - bez zwrotu i jednocześnie.

Post autor: kerajs »

micd pisze: 7 wrz 2020, o 22:03 Błąd jest jednak już wcześniej - w podpunkcie a).
Słusznie. Mój błąd. Przepraszam.
Salami
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 2 cze 2019, o 13:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 13 razy

Re: W urnie znajdują się 3 kule czerwone, 2 białe i 1 zielona. Losujemy z urny 3 kule - bez zwrotu i jednocześnie.

Post autor: Salami »

Czy teraz zadanie jest rozwiązane poprawnie?

a)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
x &0 & 1 & 2 & 3\\
p & \frac{1}{20} & \frac{9}{20} & \frac{9}{20} & \frac{1}{20}
\end{bmatrix}}\)



b)
\(\displaystyle{ P(X>1)=\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ P(X=3|x>1)=\frac{\frac{1}{20}}{\frac{9}{20}+\frac{1}{20}}= \frac{1}{10}}\)


c)

\(\displaystyle{ EX=\frac{9}{20}+\frac{18}{20}+\frac{3}{20}=\frac{3}{2}}\)
\(\displaystyle{ (EX)^{2}=\frac{9}{4}}\)
\(\displaystyle{ EX^{2}=1^{2} \cdot\frac{9}{20}+2^{2}\cdot\frac{9}{20}+3^{2}\cdot\frac{1}{20}=\frac{54}{20}}\)
\(\displaystyle{ Var=\frac{54}{20}-\frac{9}{4}=\frac{9}{20}}\)
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: W urnie znajdują się 3 kule czerwone, 2 białe i 1 zielona. Losujemy z urny 3 kule - bez zwrotu i jednocześnie.

Post autor: janusz47 »

Rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ X }\) - ilości wylosowanych kul czerwonych wyznaczyłeś poprawnie.

Zauważ, że jest to rozkład hipergeometryczny o parametrach \(\displaystyle{ \mathcal{H}(6,3). }\)

Prawdopodobieństwo zdarzenia, \(\displaystyle{ \{ X =k \},}\) że zmienna losowa przyjmuje wartość \(\displaystyle{ k, \ \ k=0,1,2, 3, }\)
jest równe:

\(\displaystyle{ Pr(\{ X = k\}) = \frac{{3\choose k}\cdot {3\choose 3-k}}{{6\choose 3}}, \ \ k=0,1, 2, 3. }\)

Pozostałą część zadania b), c) rozwiązałeś też poprawnie.
Ostatnio zmieniony 8 wrz 2020, o 19:41 przez janusz47, łącznie zmieniany 1 raz.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: W urnie znajdują się 3 kule czerwone, 2 białe i 1 zielona. Losujemy z urny 3 kule - bez zwrotu i jednocześnie.

Post autor: janusz47 »

Rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ X }\) - ilości wylosowanych kul czerwonych wyznaczyłeś poprawnie.

Zauważ, że jest to rozkład hipergeometryczny o parametrach \(\displaystyle{ \mathcal{H}(6,3) }\)

Prawdopodobieństwo zdarzenia, \(\displaystyle{ \{ X =k \},}\) że zmienna losowa przyjmuje wartość \(\displaystyle{ k, \ \ k=0,1,2, 3, }\)
jest równe:

\(\displaystyle{ Pr(\{ X = k\}) = \frac{{3\choose k}\cdot {3\choose 3-k}}{{6\choose 3}}, \ \ k=0,1, 2, 3. }\)

Pozostałą część zadania b), c) rozwiązałeś też poprawnie.
micd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 4 wrz 2020, o 18:24
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 4 razy

Re: W urnie znajdują się 3 kule czerwone, 2 białe i 1 zielona. Losujemy z urny 3 kule - bez zwrotu i jednocześnie.

Post autor: micd »

Podejrzewam, że taka interpretacja:
\(\displaystyle{ { \{CCC\}, \{CCB\}, \{CBB\}, \{BBZ\}, \{CCZ\}, \{CZB\}}}\)

z prawd. 1/6 dla każdego zbioru, może brać się stąd, że kule wydają się być "fizycznie" nierozróżnialne, czyli jakby nienumerowane i przy takim patrzeniu na rezultat, zdarzenie \(\displaystyle{ \{C_1BB\}}\) jest nierozróżnialne od \(\displaystyle{ \{C_2BB\}}\), czyli jakby to było "to samo" (gdzie \(\displaystyle{ C_i}\), to i-ta czerwona kula). Ale mimo tego, że kule czerwone są nierozróżnialne, to jednak one tam są! Tam to znaczy w urnie z której losujemy. A skoro tak, to jest różnica czy ich tam jest 3, czy 1000. Losując w tym drugim przypadku znacznie częściej będziemy wylosowywać czerwone niż w pierwszym. Zbiory wynikowe będą wyglądać tak samo, jednak będą one wylosowywane z inną częstością.

Podsumowując, żeby otrzymać zbiór \(\displaystyle{ \{CBB\}}\), mamy 3 zdarzenia sprzyjające w schemacie losowania z zadania
\(\displaystyle{ \{C_1B_1B_2\}, \{C_2B_1B_2\}, \{C_3B_1B_2\}, }\)
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: W urnie znajdują się 3 kule czerwone, 2 białe i 1 zielona. Losujemy z urny 3 kule - bez zwrotu i jednocześnie.

Post autor: janusz47 »

W tym zadaniu mamy typowy rozkład hipergeometryczny zmiennej losowej \(\displaystyle{ X }\) modelującej ilość wylosowanych kul czerwonych.
ODPOWIEDZ