Niech zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [0,2].

[Salami]

Niech zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [0,2]. Ile wynosi wartość oczekiwana zmiennej \(\displaystyle{ Y=\frac{X^{4}}{2}}\)

Wzór na rozkład o gęstości
\(\displaystyle{ f(x))\left\{\begin{matrix}
\frac{1}{b-a} &,x\in [a,b] \\
0 & ,x\notin [a,b]\
\end{matrix}\right.}\)

Podstawiam
\(\displaystyle{ f(x))\left\{\begin{matrix}
\frac{1}{2} &,x\in [0,2] \\
0 & ,x\notin [0,2]\
\end{matrix}\right.}\)

Jaki jest kolejny krok do tego zadania?

[Tmkk]

Znalezienie wzoru na wartość oczekiwaną zmiennej losowej, która posiada gęstość.

\(\displaystyle{ \mathbb{E}Y = \mathbb{E}(X^4/2) = \ldots}\)

[Salami]

Znalezienie wzoru na wartość oczekiwaną zmiennej losowej, która posiada gęstość.

\(\displaystyle{ \mathbb{E}Y = \mathbb{E}(X^4/2) = \ldots}\)

Więc mam podstawić zmienna Y do całki z liczbami z przedziału?
W takim wypadku wynik to \(\displaystyle{ \frac{16}{5}}\)
Czy dobrze zrozumiałem?

[Tmkk]

Nie wiem jakiego wzoru używasz, ani jak liczysz, więc ciężko stwierdzić. Tak czy inaczej, wynik nie do końca się zgadza.

[Salami]

\(\displaystyle{ E(X)=\int_{0}^{2}xdx}\)
Musiałem policzyć Y więc: \(\displaystyle{ E(Y)=)\int_{0}^{2}y(x)f(x)dx}\)
\(\displaystyle{ y(x)=\frac{X^{4}}{2}}\)
Źle rozpisane?
Nie za bardzo jeszcze to rozumiem, pierwszy dzień nauki od przerwy.

[Tmkk]

\(\displaystyle{ E(X)=\int_{0}^{2}xdx}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{E}(X)=\int_{0}^{2}xf(x)\mbox{d}x}\).

Wzór na \(\displaystyle{ \mathbb{E}Y}\) się zgadza, ale najwyraźniej pominąłeś \(\displaystyle{ f(x)}\).

Dla ścisłości: przedziały w całkach są takie, a nie inne, bo dla pozostalych wartości \(\displaystyle{ x}\) jest \(\displaystyle{ f(x)=0}\). Normalnie dla zmiennej losowej z gęstością \(\displaystyle{ f}\) wzór wygląda następująco

\(\displaystyle{ \mathbb{E}(X)=\int_{\mathbb{R}}xf(x)\mbox{d}x}\).

[Salami]

Ah tak, zjadłem\(\displaystyle{ f(x)}\).
Czy \(\displaystyle{ f(x) = \frac{{1}}{2}}\) bazując na gęstości?
W takim razie mam nadzieję że wynik \(\displaystyle{ \frac{{8}}{5} }\) jest teraz poprawny

[Tmkk]

Tak, teraz się zgadza.

[janusz47]

Ogólnie \(\displaystyle{ n -}\) ty moment zwykły zmiennej losowej \(\displaystyle{ X }\) - ciągłej o gęstości prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ f_{X}(x) }\) jest równy

\(\displaystyle{ E(X^{n}) = \int_{-\infty}^{\infty} x^{n} f_{X}(x) dx \ \ (1) }\)

o ile całka po prawej stronie równości \(\displaystyle{ (1) }\) jest zbieżna.