Prawo arcusa sinusa

[takamatematyka]

Udowodnij prawo arcusa sinusa:
Dla każdego ustalonego \(\displaystyle{ y \in (0,1)}\) prawdopodobieństwo, że frakcja \(\displaystyle{ \frac{k}{n}}\) czasu spędzonego na dodatniej stronie osi liczbowej będzie mniejsza od y zmierza, przy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\), do wartości \(\displaystyle{ \int_0^{y}\frac{1}{\pi \sqrt{x(1-x)}}dx=\frac{2}{\pi}\arcsin\sqrt{y}}\)


Proszę o pomoc

[janusz47]

Dowód probabilistyczny do momentu obliczenia całki - patrz np. William Feller. WSTĘP DO RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Wydanie III zmienione strony 79-82. PWN Warszawa 1977.

Obliczenie całki

\(\displaystyle{ \int \frac{1}{\pi} \frac{1}{\sqrt{x(1-x)}} dx = \frac{1}{\pi}\int \frac{1}{\sqrt{1-x} \sqrt{x}} dx = }\)

\(\displaystyle{ u = \sqrt{x} \rightarrow \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \rightarrow dx = 2\sqrt{x} du }\)

\(\displaystyle{ = \frac{2}{\pi}\int \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}du = \frac{2}{\pi}\arcsin(u) + C = \frac{2}{\pi} \arcsin(\sqrt{x}) + C }\)

\(\displaystyle{ \int_{0}^{y} \frac{1}{\pi} \frac{1}{\sqrt{x(1-x)}} dx = \frac{2}{\pi}\arcsin(\sqrt{y}).}\)

[takamatematyka]

a czy mogę prosić o dowód z książki? Moja biblioteka jest nadal nieczynna...

[janusz47]

Sfotografuję kartki książki z dowodem i wyślę na Pani adres e-mail.

[takamatematyka]

Wspaniale! Mój mail to: takamatematyka@gmail.com