Współrzędne niezależnych wektorów losowych

[PLrc]

Załóżmy, że wektory losowe \(\displaystyle{ (X_1,X_2)}\) i \(\displaystyle{ (Y_1, Y_2)}\) są niezależne. Czy wtedy np. zmienne losowe \(\displaystyle{ X_1}\) i \(\displaystyle{ Y_1}\) także są niezależne? One byłyby niezależne, jeżeli rzutowania \(\displaystyle{ \pi_1(x_1,x_2):=x_1}\) i \(\displaystyle{ \pi_2(x_1,x_2):=x_2}\) są funkcjami borelowskimi, prawda? Czy są w takim razie?

[Tmkk]

Odpowiedz brzmi: tak.

Jeśli \(\displaystyle{ X=(X_1,X_2,\ldots ,X_n)}\) oraz \(\displaystyle{ Y = (Y_1,Y_2, \ldots ,Y_m)}\) są niezależne, to poszczególne pary \(\displaystyle{ X_i, Y_j}\) również są niezależne. Wynika to prosto z definicji niezależności lub z faktu o którym piszesz: jeśli \(\displaystyle{ X,Y}\) są niezależne, a \(\displaystyle{ f,g}\) borelowskie, to \(\displaystyle{ f(X), g(Y)}\) są niezależne. Wystarczy więc wstawić \(\displaystyle{ f = \pi_i, g = \pi_j}\).

Rzuty na poszczególne współrzędne są funkcjami borelowskimi - można to znowu łatwo sprawdzić z definicji lub powołać się na taki fakt, że jeśli funkcja \(\displaystyle{ f: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}}\) jest ciągła, to jest też borelowska (a rzutowania są ciągłe, to łatwo sprawdzić).

Implikacja w drugą stronę nie zachodzi.