Prawdopodobieństwo warunkowe

[matematykipatyk]

Jedną kulę białą i sześć czarnych wrzucamy losowo do dwóch ponumerowanych szuflad. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że biała kula znajdzie się w pierwszej szufladzie, jeśli do drugiej wrzuciliśmy pięć kul.
Rozwiązanie tego zadania jest następujące:
\(\displaystyle{ P(A|B)= \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{ {6 \choose 5} }{7 \choose 5} = \frac{2}{7} }\)

Wydaje mi się, że rozwiązanie powinno być następujące:
Mamy dwie możliwości jeśli w drugiej szufladzie ma być pięć kul,
1) BC i 5C
2) CC i Bi4C
i jedną możliwość jeśli biała ma znaleźć w pierwszej szufladzie i w drugiej ma być 5 kul czyli BC i 5C , więc:
\(\displaystyle{ P(A|B)= \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1}{2} }\).
Przecież kule nie są ponumerowane i wszystkie przypadki z tego \(\displaystyle{ 7 \choose 5}\) sprowadzają się do dwóch 1) BC i 5C , 2) CC i Bi4C .

[Janusz Tracz]

Przecież kule nie są ponumerowane

Ale można je ponumerować. Wtedy zadanie sprawdza się do zliczania funkcji z \(\displaystyle{ \mathcal{K}=\left\{ b_1,c_1,c_2,c_3,...,c_6\right\} }\) w \(\displaystyle{ \mathcal{S}=\left\{ s_1,s_2\right\} }\). Takich funkcji jest \(\displaystyle{ 2^7}\). W szczególności funkcji takich, że istnieje dokładnie \(\displaystyle{ 5}\) elementów z \(\displaystyle{ \mathcal{K}}\) przechodzących na \(\displaystyle{ s_1}\) jest \(\displaystyle{ {7 \choose 5} }\). A gdy chcemy zliczyć ile jest funkcji takich, że dokładnie \(\displaystyle{ 5}\) elementów z \(\displaystyle{ \mathcal{K}}\) przechodzących na \(\displaystyle{ s_2}\) w tym na pewno nie \(\displaystyle{ b_1}\) to wybrał bym \(\displaystyle{ 5}\) z \(\displaystyle{ 6}\) (czarnych) co uczynić można na \(\displaystyle{ {6 \choose 5} }\) sposoby. Zatem wynik to:

\(\displaystyle{ P(A|B)= \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{ {6 \choose 5} }{2^7} }{\frac{ {7 \choose 5} }{2^7} } = \frac{2}{7} }\)

Wydaje mi się, że rozwiązanie powinno być następujące:
Mamy dwie możliwości jeśli w drugiej szufladzie ma być pięć kul,
1) BC i 5C
2) CC i Bi4C
i jedną możliwość jeśli biała ma znaleźć w pierwszej szufladzie i w drugiej ma być 5 kul czyli BC i 5C , więc:
\(\displaystyle{ P(A|B)= \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1}{2} }\).
Przecież kule nie są ponumerowane i wszystkie przypadki z tego \(\displaystyle{ 7 \choose 5}\) sprowadzają się do dwóch 1) BC i 5C , 2) CC i Bi4C .

Tak też można zrobić to zadanie. Początek rozumowanie jest niezły ale ostatecznie nieprawdą jest, że pewne nierównoliczne grupy przepadków sprawdzają się do takiego wyboru zero jedynkowego. Chcąc policzyć liczbę takich rozmieszczeń gdzie w jednej urnie mamy \(\displaystyle{ BC}\) jak sam zauważyłeś mamy w drugiej urnie \(\displaystyle{ 5}\) czarnych kul zatem jest \(\displaystyle{ 6}\) takich możliwości. Opcje w których mamy w jednaj urnie dwie kulę różnych kolorów to: \(\displaystyle{ BC_1}\) lub \(\displaystyle{ BC_2}\) lub \(\displaystyle{ BC_3}\) lub ... lub \(\displaystyle{ BC_6}\) to w naturalny sposób koresponduje z \(\displaystyle{ \red{{6 \choose 5}} }\) czyli wyborem \(\displaystyle{ 5}\) czarnych kul do urny z pięcioma czarnymi lub równoważnie z \(\displaystyle{ \red{{6 \choose 1}} }\) czyli wyborem jednaj czarnej do pary z białą (sytuacja symetryczna do której nawiązujesz w drugiem podejściu). Pozostało zliczyć liczbę wszystkich rozmieszczeń typu \(\displaystyle{ 2}\) w jednej urnie \(\displaystyle{ 5}\) w drugiej. I teraz skoro już o sytuacji symetrycznej mowa to policzmy ile jest opcji typu \(\displaystyle{ CC}\), jest ich \(\displaystyle{ \blue{{6 \choose 2}} }\) zatem wszystkich jest \(\displaystyle{ \blue{ {6 \choose 2}}+ \red{{6\choose 5} } }\) co nie przypadkowo jest równe \(\displaystyle{ {7 \choose 5} }\). Zatem:

\(\displaystyle{ P(A|B)= \frac{\red{{6 \choose 5}}_{BC}}{\blue{ {6 \choose 2}}_{CC}+ \red{{6\choose 5} }_{BC}} = \frac{2}{7} }\)