O jednym ciekawym zadaniu z rachunku prawdopodobieństwa

[janusz47]

W artykule [1] opracowanym na podstawie tygodnika "Der Spiegel" Nr 34, 19 August 1991 p.212-213 opisany jest teleturniej, który odbywa się w Stanach Zjednoczonych.
Uczestnik ma przed sobą troje jednakowych drzwi. Za jednymi znajduje się samochód , a za pozostałymi kozy. Grający wybiera jedne drzwi (ale na razie nie otwiera się ich), po czym prowadzący program otwiera jedne drzwi za którymi znajduje się koza. Teraz grający dokonuje ponownego wyboru. albo pozostaje przy pierwotnie wybranych drzwiach, albo zmienia decyzję, wybierając drugie z nie otwartych drzwi.
Amerykańska dziennikarka Marilyn vos Savant radzi, aby grający zawsze zmieniał swój pierwotny wybór, co zwiększa szansę wygrania samochodu. Rada ta została wyśmiana w USA przez wielu naukowców i nauczycieli matematyki. Dziennikarce zarzucono wręcz głupotę.

Intuicyjnie, nieformalne rozumowanie może istotnie prowadzić do wniosku, że rada dziennikarki jest bezsensowna. Jeżeli bowiem odrzucono jedne drzwi z kozą, to jest jedna możliwość na dwie, że samochód jest za danymi, nie otwartymi drzwiami.

Dla każdych nie otwartych drzwi prawdopodobieństwo wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}, }\) że za nimi znajduje się samochód.

Obliczymy w sposób formalny prawdopodobieństwo wygranej przy stosowaniu rady dziennikarki oraz to samo prawdopodobieństwo bez stosowania tej rady.

Aby wykonać te obliczenia, precyzujemy doświadczenie losowe, którym jest przebieg teleturnieju i skonstruujemy jego model probabilistyczny.

Jest to doświadczenie trójetapowe. W pierwszym etapie grający wybiera jedne drzwi z samochodem \(\displaystyle{ (s) }\), z pierwszą kozą \(\displaystyle{ (k_{1}) }\) lub drugą kozą \(\displaystyle{ (k_{2})}\). Każde z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{3}. }\)

Jeżeli pierwszy etap zakończył się wynikiem \(\displaystyle{ k_{1} }\) (odpowiednio \(\displaystyle{ k_{2} }\) ), to w drugim etapie prowadzący program otwiera drzwi za którymi znajduje się koza \(\displaystyle{ k_{2}. }\) (odpowiednio \(\displaystyle{ k_{1} }\)).

Przyjmijmy, że jeżeli w pierwszy etap zakończył się wynikiem \(\displaystyle{ s, }\) to w drugim etapie otwierane są z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ p }\) drzwi za którymi znajduje się koza \(\displaystyle{ k_{1}, }\) i z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1 - p }\) drzwi, za którymi znajduje się koza \(\displaystyle{ k_{2}. }\) Dla wartości \(\displaystyle{ p = \frac{1}{2} }\) to, które drzwi zostaną otwarte może zależeć na przykład od wyniku rzutu monetą.

W trzecim etapie grający pozostaje przy pierwotnie wybranych drzwiach z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ q }\) albo zmienia swoją decyzję, wybierając drugie z nie otwartych drzwi z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1 - q. }\)

Wynik całego trójetapowego doświadczenia losowego składa się z trzech wyników kolejnych doświadczeń cząstkowych, a jego prawdopodobieństwo jest iloczynem prawdopodobieństw tych wyników ( każde w swoim etapie).

Modelem doświadczenia trójetapowego jest trójka \(\displaystyle{ (\Omega, \ \ 2^{\Omega}, \ \ P ), }\)

gdzie

\(\displaystyle{ \Omega = \{ (s, k_{1}, s), (s, k_{1}, k_{2}), (s, k_{2}, s), (s, k_{2}, k_{1}), (k_{1}, k_{2}, s), ( k_{1}, k_{1}. k_{1}), (k_{2}, k_{1},s), (k_{2},k_{1},k_{2})\} }\) - zbiór wszystkich możliwych wyników,

\(\displaystyle{ 2^{\Omega} }\) - klasa wszystkich zdarzeń probabilizowalnych - wszystkich podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \Omega }\) łącznie ze zdarzeniem pewnym i niemożliwym.

\(\displaystyle{ P }\) - rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze \(\displaystyle{ \Omega }\)

\(\displaystyle{ P = \left\{ \frac{1}{3}p\cdot q,\ \ \frac{1}{3}p\cdot (1-q), \ \ \frac{1}{3}(1-p)\cdot q, \ \ \frac{1}{3}(1-p)\cdot (1-q), \ \ \frac{1}{3}\cdot 1\cdot (1-q), \ \ \frac{1}{3}\cdot 1\cdot q, \ \ \frac{1}{3}\cdot1 \cdot(1-q), \ \ \frac{1}{3}\cdot 1 \cdot q \right\}.}\)

Obliczymy prawdopodobieństwo warunkowe \(\displaystyle{ P(S|Z) }\) - wygrania samochodu - zdarzenie \(\displaystyle{ S }\) pod warunkiem zmiany decyzji w trzecim etapie wyboru dokonanego w pierwszym etapie - zdarzenie \(\displaystyle{ Z.}\)

Mamy

\(\displaystyle{ S = \{(s, k_{1}, s), (s,k_{2}, s), ( k_{1}, k_{2},s), ( k_{2}, k_{1}, s\} }\)

\(\displaystyle{ Z = \{(s, k_{1}, k_{2}), (s,k_{2}, k_{1}) (k_{1}, k_{2},s), (k_{2},k_{1},s) \} }\)

\(\displaystyle{ P(S|Z) = \frac{P(S \cap Z)}{P(Z)}= \frac{P(\{ (k_{1}, k_{2}, s), (k_{2},k_{1}, s) \})}{P(Z)} \ \ (1)}\)

\(\displaystyle{ P(S|Z) = \frac{\frac{1}{3}(1-q) + \frac{1}{3}(1-q)}{\frac{1}{3}p(1-q) +\frac{1}{3}(1- p)(1-q) +\frac{1}{3}(1-q) +\frac{1}{3}(1-q)}= \frac{\frac{2}{3}(1-q)}{1-q} = \frac{2}{3} \ \ (2) }\)

Oznaczając przez \(\displaystyle{ B }\) - zdarzenie " brak zmiany w trzecim etapie pierwotnego wyboru, otrzymujemy

\(\displaystyle{ B = \{ (s, k_{1},s), (s,k_{2}, s), (k_{1},k_{2},k_{1}), (k_{2},k_{1},k_{2})\}. }\)

Stąd

\(\displaystyle{ P(S|B) = \frac{P(S \cap B)}{P(B)} = \frac{P(S \cap B)}{1 - P(Z)} \ \ (3)}\)

\(\displaystyle{ P(S|B) = \frac{\frac{1}{3}p\cdot q + \frac{1}{3}(1-p)\cdot q}{q} = \frac{1}{3} \ \ (4) }\)

Równania \(\displaystyle{ (1),(2),(3),(4) }\) są prawdziwe dla dowolnych wartości \(\displaystyle{ p, \ \ (0\leq p \leq 1)}\) i \(\displaystyle{ q, \ \ (0< q < 1)}\).

Wnioski

Otrzymane wyniki świadczą o tym, że rada dziennikarki zwiększa szansę wygrania samochodu dwukrotnie.

W artykule [1] podano, że krytykujący dziennikarkę matematycy stwierdzili, że jej rada "pogłębia jeszcze ogólnokrajowy kryzys w nauczaniu matematyki".

Jak wynika z obliczonych wartości prawdopodobieństw, to nie dziennikarka pogłębia ten kryzys, ale krytykujący ją matematycy. Kryzys ten dotyczy szczególnie nauczania rachunku prawdopodobieństwa nie tylko w Ameryce, ale także w Polsce.

Przedmiot ten jest źle nauczany. Źle się uczy także jego zastosowań. Źle się uczy jego nauczycieli. W tej sytuacji należy moim zdaniem zrezygnować z powszechnego nauczania rachunku prawdopodobieństwa, a w każdym razie z nauczania w szkole podstawowej i średniej, dopóki nie wypracuje się rzetelnych metod nauczania.

Obecnie w nauczaniu elementarnego rachunku prawdopodobieństwa więcej uwagi zwraca się na intuicje probabilistyczne i na nieformalne, propedeutyczne nauczanie niż na konstrukcję modelu probabilistycznego i ścisłość matematyczną.

Literatura

[1] H. Hartwig. Drzwi do wygranej. Jak postąpić, by wygrać samochód, a nie kozę? Spotkania( ilustrowany tygodnik informacyjny) nr 39, 9 Października 91.

[2] Lech Tadeusz Kubik. O konstruowaniu modeli probabilistycznych. MATEMATYKA czasopismo dla nauczycieli nr 4 1975.

[3] Lech Tadeusz Kubik. O wieloetapowych doświadczeniach losowych. MATEMATYKA czasopismo dla nauczycieli nr 1, 1976.

[4] Andrzej Krupowicz, Lech Tadeusz Kubik. O prawdopodobieństwie warunkowym i wieloetapowych doświadczeniach losowych. MATEMATYKA czasopismo dla nauczycieli nr 4 1978.

[5] Lech Tadeusz Kubik. O dwóch ciekawych zadaniach z rachunku prawdopodobieństwa. MATEMATYKA czasopismo dla nauczycieli nr 1. 1993.

[Dasio11]

Rachunki zapewne poprawne, ale zadanie można rozwiązać o wiele prościej.

A sam problem, zwany paradoksem Monty Halla, ma raczej proste wyjaśnienie - jeśli na początku pokazaliśmy bramkę z samochodem (szansa \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)), to po zmianie wyboru na pewno trafimy na kozę. Ale jeśli na początku pokazaliśmy kozę (szansa \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\)), to na pewno po zmianie wyboru wygramy samochód. Szansa wygrania samochodu wynosi więc:
\(\displaystyle{ \frac{1}{3} \cdot 0+ \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3}}\).

[Slup]

W tym sformułowaniu zadanie jest nieprecyzyjne. Zdanie

Grający wybiera jedne drzwi (ale na razie nie otwiera się ich), po czym prowadzący program otwiera jedne drzwi, za którymi znajduje się koza.

nie określa bowiem precyzyjnie postępowania prowadzącego. Są co najmniej dwie możliwości (w rzeczywistości jest ich znacznie więcej) interpretacji tego zdania. Każda sugeruje inną formalizację podanego zadania.

I. Prowadzący wybierał losowo (przez rzut monetą) spośród dwóch niewybranych przez gracza drzwi. Potencjalnie istniała więc szansa, że wybierze drzwi, za którymi jest samochód (oczywiście o ile samochód nie znajdował się za drzwiami, które wybrał gracz na początku). Jednak wynik tego rzutu okazał się być taki, że w otwartym przez niego pomieszczeniu znalazła się koza. Wówczas zamiana drzwi nie zwiększa szans na wygraną, co można udowodnić wprowadzając odpowiedni model probabilistyczny.

Ukryta treść:    

Oznaczmy drzwi wybrane przez gracza przez a. Pozostałe drzwi to b, c. Kładziemy
$$\Omega = \{\textbf{a},\textbf{b},\textbf{c}\}, \mathcal{F} = \mathcal{P}(\Omega), P\mbox{ rozkład klasyczny na }\Omega$$
Niech \(\displaystyle{ A}\) oznacza zdarzenie, że samochód jest za drzwiami a. Niech \(\displaystyle{ B}\) oznacza zdarzenie, że prowadzący rzucając monetą wybrał spośród drzwi b, c te, za którymi znajdowała się koza. Łatwo policzyć, że
$$P(A\cap B) = P(A) = \frac{1}{3}$$
oraz
$$P(B) = \underbrace{ \frac{1}{3}\cdot 1 }_{samochód\,jest\,w\,\textbf{a}} + \underbrace{\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}}_{samochód\,jest\,w\,\textbf{b}} + \underbrace{\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}}_{samochód\,jest\,w\,\textbf{c}} = \frac{2}{3}$$
Zatem
$$P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} = \frac{1}{2}$$

Przy okazji pokazuje to, że jest problem z argumentem zalinkowanym przez Dasia11 powyżej, bo wydaje się, że pasuje on do tego przypadku. Problem w tym, że zalinkowane rozwiązanie jest nieformalne, a więc trudno ocenić jego poprawność, ale o tym napiszę więcej niżej.

II. Prowadzący, który wie, co jest za drzwiami, zawsze wybierze drzwi, za którymi znajduje się koza. Ponadto, gdy gracz wybrał drzwi, za którymi znajduje się samochód, to prowadzący wybierze spośród pozostałych dwóch drzwi rzucając monetą. To jest przyjęta przez użytkownika janusz47 interpretacja i wówczas, jak wskazują wykonane przez niego rachunki, zamiana drzwi zwiększa szanse wygrania samochodu.

Oryginalne sformułowanie Marilyn vos Savant brzmiało:

Suppose you're on a game show, and you're given the choice of three doors: Behind one door is a car; behind the others, goats. You pick a door, say No. 1, and the host, who knows what's behind the doors, opens another door, say No. 3, which has a goat. He then says to you, "Do you want to pick door No. 2?" Is it to your advantage to switch your choice?

Podkreślony fragment faktycznie sugeruje przyjęcie interpretacji II (lub podobnej interpretacji, bo jest ich więcej - tworzą całą rodzinę) i wobec tego podane przez Marilyn vos Savant sformułowanie jest bardziej precyzyjne pod tym względem niż to podane przez użytkownika janusz47, chociaż wciąż jest nieprecyzyjne, o czym napiszę niżej w kontekście podanego przez Savant rozwiązania.

Wniosek jest taki, że nie jest to zadanie z matematyki. Jest to bardziej złożone, interdyscyplinarne zadanie. Pierwszy krok (1) to interpretacja tekstu zadania. Drugi (2) to formalizacja matematyczna tej interpretacji i w ostateczności (3) dochodzi do rozwiązania zadania.

Uważam przy tym, że nie jest kontrowersyjne stwierdzenie, że kroki (1) i (2) nie należą do matematyki. Nie są też jednoznaczne i nie ma żadnych obiektywnych kryteriów, które pozwalają precyzyjnie rozsądzić, czy kroki (1) i (2) zostały wykonane poprawnie. Należy zwrócić uwagę, że ściśle rzecz biorąc można powiedzieć o poprawnym lub niepoprawnym rozwiązaniu tylko takiego problemu matematycznego (logicznego, naukowego), który jest sformalizowany. Formalizacja oznacza bowiem co najmniej dwa fakty.
1. Problem jest sformułowany w języku formalnym \(\displaystyle{ L}\). Oznacza to, że jego rozwiązanie to kwestia ustalenia, czy pewne zdanie \(\displaystyle{ \phi}\) w \(\displaystyle{ L}\) jest prawdziwe. Np. w przypadku naszego problemu chodzi o zdanie, które stwierdza, że pewne prawdopodobieństwo warunkowe jest mniejsze \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), natomiast językiem formalnym jest jakikolwiek język, który pozwala wyrazić podstawowe własności zbiorów skończonych i liczb wymiernych.
2. Zostały przedstawiony system dedukcyjny \(\displaystyle{ \vdash_{L}}\) w języku \(\displaystyle{ L}\), który można wykorzystać do ustalenia prawdziwości zdania \(\displaystyle{ \phi}\) (czyli do rozwiązania zadania).
Wówczas można też stwierdzić, czy rozwiązanie jest poprawne w tym znaczeniu, że w dedukcja \(\displaystyle{ \phi}\) w systemie \(\displaystyle{ \vdash_L}\) jest poprawna.

Rozwiązanie Marilyn vos Savant (sformułowanego przez nią problemu) było następujące:

Yes; you should switch. The first door has a 1/3 chance of winning, but the second door has a 2/3 chance. Here’s a good way to visualize what happened. Suppose there are a million doors, and you pick door #1. Then the host, who knows what’s behind the doors and will always avoid the one with the prize, opens them all except door #777,777. You’d switch to that door pretty fast, wouldn’t you?

Niestety, jak widać, jest to rozwiązanie nie oparte o formalizację. Jest to rozwiązanie czysto intuicyjne i bardzo nieprecyzyjne. W dodatku to rozwiązanie wprowadza dodatkowe założenie, które podkreślam i które przynajmniej w jawnej formie nie wynika z treści zadania. Zatem Marilyn vos Savant nie zastosowała się (ani w sformułowaniu swojego problemu, ani w jego rozwiązaniu) do dyrektywy użytkownika janusz47, która nakazuje konstruować model probabilistyczny i ściśle formułować zadania. Możliwe, że na to właśnie zwróciła jej uwagę część matematyków:

W artykule [1] podano, że krytykujący dziennikarkę matematycy stwierdzili, że jej rada "pogłębia jeszcze ogólnokrajowy kryzys w nauczaniu matematyki".

chociaż tutaj pewności nie mam.

[janusz47]

Rachunek prawdopodobieństwa jest działem matematyki równie ścisłym jak każdy inny. Jest to jak wiadomo teoria aksjomatyczna, w której dowodzenie twierdzeń odbywa się na drodze dedukcji. Twierdzenia te są prawdziwe w każdym modelu probabilistycznym.

Jeżeli chcemy rozwiązać jakieś zadanie (zagadnienie) dotyczące konkretnego doświadczenia losowego musimy wykonać kolejno cztery następujące etapy:
1. określić doświadczenie losowe opisane w zadaniu,
2. zbudować model probabilistyczny tego doświadczenia,
3. rozwiązać w modelu zagadnienie matematyczne, będące odpowiednikiem postawionego zagadnienia praktycznego,
4. zinterpretować otrzymany wynik w odniesieniu do rozpatrywanego doświadczenia losowego.

W podanych wyżej etapach 1, 3 stosujemy rozumowanie indukcyjne - korzystamy z praktyki i intuicji, w etapie 2 stosujemy rozumowanie dedukcyjne (korzystamy z twierdzeń matematycznych).

Model probabilistyczny gra w zastosowaniach tylko rolę pomocniczą.

Etap 2 konstrukcji odpowiedniego modelu jest najistotniejszy.

Należy przy tym pamiętać, że można konstruować różne modele tego samego doświadczenia losowego i że ostatecznie kryterium dobroci modelu stanowi praktyka.

Sprawy te są ważne dla człowieka stykającego się z doświadczeniami losowymi, a więc w szczególności dla nauczyciela.

Niestety sprawom tym poświęca się w praktyce nauczania mało uwagi. Jak i w większości książek są one pomijane.

[a4karo]

To zadane należy do typowej matematyki rekreacyjnej. Budowanie modeli matematycznych w każdym takim przypadku zabija przyjemność rozwiązywania zadań. Dla mnie pomysł z milionem drzwi jest dużo bardziej przekonujący niż model zbudowany przez janusza47. Ponadto znane sa przykłady, gdy różne modele dają różne wyniki, a trudno wskazać ten "prawidłowy"

[janusz47]

To zależy, co rozumiemy pod pojęciem "matematyki rekreacyjnej". Nie oznacza to, że w matematyce rekreacyjnej nie można stosować metod matematycznych, zamiast zgadywania.
To prawda, dla danego doświadczenia losowego można skonstruować, różne modele. ale ich wyniki muszą prowadzić do jednego wniosku.
Czy trafnego? Odpowiedź na to pytanie weryfikuje praktyka.
W tym przypadku przedstawiony model probabilistyczny jest odpowiedzią na trafność spostrzeżeń prowadzącej teleturniej.

[Dasio11]

W tym sformułowaniu zadanie jest nieprecyzyjne. Zdanie

Grający wybiera jedne drzwi (ale na razie nie otwiera się ich), po czym prowadzący program otwiera jedne drzwi, za którymi znajduje się koza.

nie określa bowiem precyzyjnie postępowania prowadzącego.

Nie zgodzę się - moim zdaniem treść jest jednoznaczna, a działanie prowadzącego jest opisane na tyle dokładnie, na ile to istotne dla zadania.

Są co najmniej dwie możliwości (w rzeczywistości jest ich znacznie więcej) interpretacji tego zdania. Każda sugeruje inną formalizację podanego zadania.

I. Prowadzący wybierał losowo (przez rzut monetą) spośród dwóch niewybranych przez gracza drzwi. Potencjalnie istniała więc szansa, że wybierze drzwi, za którymi jest samochód (oczywiście o ile samochód nie znajdował się za drzwiami, które wybrał gracz na początku). Jednak wynik tego rzutu okazał się być taki, że w otwartym przez niego pomieszczeniu znalazła się koza.

Ta interpretacja jest niezgodna z treścią, w której podano przecież na początku:

W artykule [...] opisany jest teleturniej, który odbywa się w Stanach Zjednoczonych.

Jest więc chyba jasne, że treść zadania nie opisuje pojedynczego przypadku, tylko powtarzający się za każdym razem scenariusz programowy. A zatem jest równie jasne, że wybór kozy przez prowadzącego nie jest czysto losowy, tylko zapewniony jakoś przez organizatorów teleturnieju.

Przy okazji pokazuje to, że jest problem z argumentem zalinkowanym przez Dasia11 powyżej, bo wydaje się, że pasuje on do tego przypadku.

Nie, nie pasuje - przy podanej przez Ciebie interpretacji odpowiednie prawdopodobieństwa wynoszą kolejno \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), a nie - jak w argumencie - \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) i \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\).

Problem w tym, że zalinkowane rozwiązanie jest nieformalne, a więc trudno ocenić jego poprawność

Ale gdzie dokładnie widzisz ten problem: w rozwiązaniu z oryginalnego wątku, czy w cytowaniu go w obecnej dyskusji?

Jeśli to drugie, to nie zgadzam się z sugestią, że poprawne mogą być wyłącznie rozwiązania formalne - moim zdaniem wystarczy, żeby dało się je jednoznacznie sformalizować. Przytoczone rozwiązanie - również moim zdaniem - ten warunek spełnia.

Jeśli zaś to pierwsze, to zauważ, że argument był oryginalnie podany w charakterze wyjaśnienia, a nie dowodu, tym bardziej więc nie można oczekiwać od niego matematycznej formalności.

Uważam przy tym, że nie jest kontrowersyjne stwierdzenie, że kroki (1) i (2) nie należą do matematyki.

Jest kontrowersyjne, bo matematyka nie musi ograniczać się tylko do matematyki teoretycznej rozumianej jako nauka o rozstrzyganiu prawdziwości tez zapisanych w języku formalnym. Równie sensowny jest pogląd, że do matematyki należą również jej wszelkie zastosowania, od tych prostych w stylu wyznaczania optymalnej strategii w omawianym teleturnieju, aż do zastosowań poważnych takich jak w fizyce, ekonomii, informatyce.

Nie są też jednoznaczne i nie ma żadnych obiektywnych kryteriów, które pozwalają precyzyjnie rozsądzić, czy kroki (1) i (2) zostały wykonane poprawnie.

Nie ma też obiektywnych kryteriów, które rozstrzygnęłyby, czy prawdopodobieństwo wypadnięcia reszki w rzucie zwyczajną monetą jest równe jednej drugiej. Tylko co z tego wynika?

[Slup]

Nie zgodzę się - moim zdaniem treść jest jednoznaczna, a działanie prowadzącego jest opisane na tyle dokładnie, na ile to istotne dla zadania.

W artykule [...] opisany jest teleturniej, który odbywa się w Stanach Zjednoczonych.

Jest więc chyba jasne, że treść zadania nie opisuje pojedynczego przypadku, tylko powtarzający się za każdym razem scenariusz programowy. A zatem jest równie jasne, że wybór kozy przez prowadzącego nie jest czysto losowy, tylko zapewniony jakoś przez organizatorów teleturnieju.

Gdzie w treści zadania opisany jest mechanizm tego powtarzającego się scenariusza, który jest zapewniony przez organizatorów turnieju? Dlaczego ten powtarzający się scenariusz programowy, który jest zapewniony przez organizatorów turnieju, nie miałby polegać na tym, że prowadzący wybiera poprzez rzut symetryczną monetą, którą bramkę ma otworzyć? Albo jeszcze taka interpretacja, że prowadzący otwiera jedną z dwóch niewybranych przez gracza bramek wtedy i tylko wtedy, gdy w obu z nich znajdują się kozy. Wówczas zamiana bramki jest zawsze przegraną samochodu. Dlaczego ta interpretacja, która zupełnie zmienia ostateczną odpowiedź, jest wykluczona przez treść zadania?

Być może (wątpię w to) w realnym teleturnieju Monty Hall zawsze otwiera bramkę z kozą i pozwala zmienić graczowi bramkę, ale skąd o tym ma wiedzieć rozwiązujący, który nie ogląda tego teleturnieju? Odpowiedź jest chyba taka, że ma się tego domyślić.

Przy okazji pokazuje to, że jest problem z argumentem zalinkowanym przez Dasia11 powyżej, bo wydaje się, że pasuje on do tego przypadku.

Nie, nie pasuje - przy podanej przez Ciebie interpretacji odpowiednie prawdopodobieństwa wynoszą kolejno \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), a nie - jak w argumencie - \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) i \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\).

Do pewnego stopnia się zgadzam, dlatego napisałem, że "wydaje się pasować" tzn. tworzy pozór, że pasuje. Ten argument po prostu jest niepełny. Postaram się to uzasadnić. Przytoczę zalinkowane przez Ciebie wyżej rozwiązanie jeszcze raz.

A sam problem, zwany paradoksem Monty Halla, ma raczej proste wyjaśnienie - jeśli na początku pokazaliśmy bramkę z samochodem (szansa \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)), to po zmianie wyboru na pewno trafimy na kozę. Ale jeśli na początku pokazaliśmy kozę (szansa \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\)), to na pewno po zmianie wyboru wygramy samochód. Szansa wygrania samochodu wynosi więc:
\(\displaystyle{ \frac{1}{3} \cdot 0+ \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3}}\).

Przez interpretację A zadania będę rozumiał tę, w której prowadzący wybiera spośród dwóch pozostałych bramek rzucając symetryczną monetą. Przez interpretację B będę rozumiał tę, w której zawsze wybiera bramkę z kozą i gdy ma dwie bramki z kozą, to rzuca monetą.
Weźmy podkreślone fragmenty. Jeśli odnoszą się one do sytuacji bezpośrednio przed otwarciem bramki przez prowadzącego, to zarówno przy interpretacji A jak i przy interpretacji B są prawdziwe. Po prostu przed otwarciem bramki przez prowadzącego mam \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) szansy na to, że w wybranej przeze mnie bramce jest samochód i to, w jaki sposób prowadzący wybiera jedną z dwóch pozostałych bramek do otworzenia, nie ma tutaj znaczenia. Jeśli natomiast podkreślone fragmenty odnoszą się do sytuacji po otwarciu bramki przez prowadzącego i spostrzeżeniu w niej kozy, czyli odnoszą się do odpowiednich prawdopodobieństw warunkowych, to przy interpretacji A wynoszą one \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), natomiast przy interpretacji B wynoszą \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) i \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\). Rozumiem, że to właśnie masz na myśli, gdy piszesz:

Nie, nie pasuje - przy podanej przez Ciebie interpretacji odpowiednie prawdopodobieństwa wynoszą kolejno \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), a nie - jak w argumencie - \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) i \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\).

Zgadzam się z tym. Przyjmijmy więc interpretację B i załóżmy, że wynika ona jednoznacznie z treści zadania, co moim zdaniem nie jest prawdą. Gdzie w treści podanego wyżej rozwiązania jest jakiekolwiek odwołanie do kluczowego tutaj faktu, że prowadzący zawsze otwiera bramkę z kozą? Gdzie jest wyraźnie zaznaczone, że podkreślone fragmenty odnoszą się do prawdopodobieństw po otwarciu bramki przez prowadzącego? W obu przypadkach odpowiedź jest taka sama: nigdzie. Zakładając jednak, że w podanym wyżej rozwiązaniu te dwie - według mnie - dyskwalifikujące je luki byłyby uzupełnione, to wciąż pozostaje problem uzasadnienia faktu, że te prawdopodobieństwa wynoszą \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) i \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\). Prawomocne wyliczenie tych prawdopodobieństw jest w końcu istotą tego zadania. Przyjęcie bez żadnego uzasadnienia, że wynoszą one właśnie tyle, ile wynoszą, jest uchyleniem się od rozwiązania i podaniem samej odpowiedzi. Można czepiać się Marilyn vos Savant (ja się trochę czepiam), ale trzeba jej oddać to, że podała bardzo obrazowy przykład z milionem bramek i wyraźnie zaznaczyła, że przyjmuje w swoim rozwiązaniu założenie, iż prowadzący zawsze wybierze bramkę z kozą.

Problem w tym, że zalinkowane rozwiązanie jest nieformalne, a więc trudno ocenić jego poprawność

Ale gdzie dokładnie widzisz ten problem: w rozwiązaniu z oryginalnego wątku, czy w cytowaniu go w obecnej dyskusji?

No dobra. Przed chwilą przeanalizowałem to rozwiązanie. Nie zmienia to faktu, że dla mnie był to pewny wysiłek. Musiało to się odbywać na drodze nieformalnych dywagacji, do których ktoś może się przyczepić.

Jeśli to drugie, to nie zgadzam się z sugestią, że poprawne mogą być wyłącznie rozwiązania formalne - moim zdaniem wystarczy, żeby dało się je jednoznacznie sformalizować. Przytoczone rozwiązanie - również moim zdaniem - ten warunek spełnia.

Może i spełnia, ale według mnie tak samo spełnia je rozwiązanie:

Przy zamianie bramki wygrywamy samochód w \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) przypadków.

Jeśli zaś to pierwsze, to zauważ, że argument był oryginalnie podany w charakterze wyjaśnienia, a nie dowodu, tym bardziej więc nie można oczekiwać od niego matematycznej formalności.

Mnie ono niczego nie wyjaśnia. Wzbudza moją podejrzliwość .

Możliwe jednak, że uznasz, że coś w swojej analizie przeoczyłem lub, że gdzieś popełniłem błąd. Bardzo wtedy proszę o sprostowanie.

Uważam przy tym, że nie jest kontrowersyjne stwierdzenie, że kroki (1) i (2) nie należą do matematyki.

Jest kontrowersyjne, bo matematyka nie musi ograniczać się tylko do matematyki teoretycznej rozumianej jako nauka o rozstrzyganiu prawdziwości tez zapisanych w języku formalnym. Równie sensowny jest pogląd, że do matematyki należą również jej wszelkie zastosowania, od tych prostych w stylu wyznaczania optymalnej strategii w omawianym teleturnieju, aż do zastosowań poważnych takich jak w fizyce, ekonomii, informatyce.

Niby nie musi. Jeśli jednak do matematyki należą wszelkie jej zastosowania w tym również wszelkie interpretowanie i formalizowanie zjawisk fizycznych, ekonomicznych itd., to stąd wypływałby wniosek, że fizycy, ekonomiści itd. są matematykami, co oczywiście jest po części prawdą (dobrymi przykładami są Arrow lub Nash ze swoim słynnymi twierdzeniami, za które dostali nagrody nobla z ekonomii). Mówi się o jedności nauki i granice pomiędzy poszczególnymi dziedzinami się zacierają.

Nie ma też obiektywnych kryteriów, które rozstrzygnęłyby, czy prawdopodobieństwo wypadnięcia reszki w rzucie zwyczajną monetą jest równe jednej drugiej.

Tego nie rozumiem. Co to jest zwyczajna moneta? Zwyczajna moneta = moneta wybita przez mennicę z jakiegoś kruszcu?

[a4karo]

Wydaje mi się, że interpretacja A nie warunków eksperymentu. Cóż miałby bowiem zrobić prowadzący, gdyby moneta wskazała auto? Nie otwierać nic? Ale przecież wiemy, że za każdym razem otwiera on bramkę z kozą.

[Slup]

Wydaje mi się, że interpretacja A nie warunków eksperymentu. Cóż miałby bowiem zrobić prowadzący, gdyby moneta wskazała auto?

Otworzyć bramkę z autem.

Nie otwierać nic? Ale przecież wiemy, że za każdym razem otwiera on bramkę z kozą.

Ale skąd to wiemy? Uważam, że treść zadania tego wyraźnie nie mówi. Przy czym nie twierdzę, że nie można jej tak zinterpretować, to robi na przykład Dasio11:

Jest więc chyba jasne, że treść zadania nie opisuje pojedynczego przypadku, tylko powtarzający się za każdym razem scenariusz programowy.

Jednak większość nieporozumień związanych z tym zadaniem wynika właśnie z tego braku precyzji i otwarcia na różne interpretacje. Mamy trzy sformułowania:

Uczestnik ma przed sobą troje jednakowych drzwi. Za jednymi znajduje się samochód , a za pozostałymi kozy. Grający wybiera jedne drzwi (ale na razie nie otwiera się ich), po czym prowadzący program otwiera jedne drzwi, za którymi znajduje się koza. Teraz grający dokonuje ponownego wyboru. albo pozostaje przy pierwotnie wybranych drzwiach, albo zmienia decyzję, wybierając drugie z nie otwartych drzwi.

Suppose you're on a game show, and you're given the choice of three doors: Behind one door is a car; behind the others, goats. You pick a door, say No. 1, and the host, who knows what's behind the doors, opens another door, say No. 3, which has a goat. He then says to you, "Do you want to pick door No. 2?" Is it to your advantage to switch your choice?

W pewnym teleturnieju za jednymi z trzech zamkniętych drzwi znajduje się samochód, a za
pozostałymi dwoma kozy. Prowadzący grę wie, które drzwi kryją samochód. Gracz wskazuje
na jedne z drzwi, prowadzący otwiera jedne z pozostałych odkrywając kozę i następnie pyta
gracza, które z zamkniętych drzwi otworzyć (tzn. czy gracz zmienia wybór, czy nie). Jeżeli
gracz wskaże na odpowiednie drzwi, wygrywa samochód.

W żadnym sformułowaniu nie jest wyraźnie napisane, że prowadzący zawsze otwiera drzwi z kozą. Dwa sformułowania stwierdzają dodatkowo, że prowadzący wie, co znajduje się za drzwiami. Stwierdzają to właśnie po to, żeby rozwiązujący mógł się domyślić, że prowadzący zawsze otwiera drzwi, za którymi jest koza. To właśnie ten brak precyzji treści zadania jest moim głównym zarzutem.

[a4karo]

[Uczestnik ma przed sobą troje jednakowych drzwi. Za jednymi znajduje się samochód , a za pozostałymi kozy. Grający wybiera jedne drzwi (ale na razie nie otwiera się ich), po czym prowadzący program otwiera jedne drzwi za którymi znajduje się koza]

Dla mnie to jest jednoznaczne.

[Slup]

Myślę, że nie ma sensu się powtarzać i ciągnąć tej dyskusji. Rozumiem, że można tak zinterpretować treść tego zadania i nawet można uważać, że jest to jednoznaczne. Nie podzielam tej ostatniej opinii (to kwestia bardziej moich odczuć językowych) i ja raczej sformułowałbym je inaczej. Na przykład tak:

Uczestnik ma przed sobą troje jednakowych drzwi. Za jednymi znajduje się samochód, a za pozostałymi kozy. Grający wybiera jedne drzwi, ale na razie ich nie otwiera. Następnie prowadzący, który wie, co jest za wszystkimi drzwiami, otwiera jedne z drzwi niewybranych przez gracza. Przy czym prowadzący postępuje tutaj według następującej procedury. Jeśli za drzwiami, których nie wybrał gracz, są dwie kozy, to prowadzący otwiera losowe drzwi niewybrane przez gracza. Jeśli zaś za drzwiami, których nie wybrał gracz, są koza oraz samochód, to prowadzący otwiera te z nich, za którymi jest koza. Teraz grający dokonuje ponownego wyboru i albo pozostaje przy pierwotnie wybranych drzwiach, albo zmienia decyzję, wybierając drugie z zamkniętych drzwi. Co powinien zrobić gracz?

Obawiam się tylko, że wtedy zadanie przestałoby być ciekawe i kontrowersyjne, bo o jego rozwiązaniu zdecydowałby prosty w gruncie rzeczy rachunek przeprowadzony przez Janusza47.

Poza tym teraz widzę, że podane przeze mnie rozwiązanie interpretacji z losowym wyborem drzwi przez prowadzącego, zawiera błędy w opisie \(\displaystyle{ \Omega}\) i \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\). Dobrze chociaż, że cała reszta rozwiązania i rachunki są poprawne.

[Dasio11]

Gdzie w treści zadania opisany jest mechanizm tego powtarzającego się scenariusza, który jest zapewniony przez organizatorów turnieju?

Nigdzie. Nie jest też podany kolor włosów prowadzącego, ale naprawdę - co z tego?

Dlaczego ten powtarzający się scenariusz programowy, który jest zapewniony przez organizatorów turnieju, nie miałby polegać na tym, że prowadzący wybiera poprzez rzut symetryczną monetą, którą bramkę ma otworzyć? Albo jeszcze taka interpretacja, że prowadzący otwiera jedną z dwóch niewybranych przez gracza bramek wtedy i tylko wtedy, gdy w obu z nich znajdują się kozy. Wówczas zamiana bramki jest zawsze przegraną samochodu. Dlaczego ta interpretacja, która zupełnie zmienia ostateczną odpowiedź, jest wykluczona przez treść zadania?

Jak wynika z późniejszej dyskusji, obie te interpretacje (i wszystkie inne nieklasyczne, których istnienie postulujesz) działają tylko pod warunkiem prawdziwości twierdzenia, jakoby z treści zadania nie wynikało, że prowadzący zawsze wybiera bramkę z kozą. A przecież omawiany fragment:

Uczestnik ma przed sobą troje jednakowych drzwi. Za jednymi znajduje się samochód , a za pozostałymi kozy. Grający wybiera jedne drzwi (ale na razie nie otwiera się ich), po czym prowadzący program otwiera jedne drzwi za którymi znajduje się koza. Teraz grający dokonuje ponownego wyboru. albo pozostaje przy pierwotnie wybranych drzwiach, albo zmienia decyzję, wybierając drugie z nie otwartych drzwi.

jest opisem reguł teleturnieju. Skoro w tym opisie jest stwierdzone, że w pewnym momencie prowadzący otwiera bramkę z kozą, a nigdzie nie jest opisany wyjątek od tej reguły - to oczywiste jest, że tak się dzieje zawsze. Nie zgadzam się z twierdzeniem, że jest to opis nieprecyzyjny, przeciwnie: gdyby w rzeczonym teleturnieju prowadzący miał prawo po wyborze gracza nie otworzyć bramki z kozą (tj. otworzyć tę z samochodem lub nie otworzyć żadnej - wszystko jedno), to właśnie wtedy ten opis byłby dramatycznie nieprecyzyjny.

Jeśli się z tym nie zgadzasz, to odpowiedz na pytanie: czy według Ciebie sformułowanie "za jednymi [drzwiami] znajduje się samochód, a za pozostałymi kozy" jest nieprecyzyjne i wymaga uściślenia? A w przypadku braku uściślenia - czy sądzisz, że możliwa jest interpretacja, według której w każdą środę wszystkie trzy bramki zawierają kozę, a samochodu nie ma (a w pozostałe dni jest według opisu)?

Weźmy podkreślone fragmenty. Jeśli odnoszą się one do sytuacji bezpośrednio przed otwarciem bramki przez prowadzącego, to zarówno przy interpretacji A jak i przy interpretacji B są prawdziwe. Po prostu przed otwarciem bramki przez prowadzącego mam \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) szansy na to, że w wybranej przeze mnie bramce jest samochód i to, w jaki sposób prowadzący wybiera jedną z dwóch pozostałych bramek do otworzenia, nie ma tutaj znaczenia. Jeśli natomiast podkreślone fragmenty odnoszą się do sytuacji po otwarciu bramki przez prowadzącego i spostrzeżeniu w niej kozy, czyli odnoszą się do odpowiednich prawdopodobieństw warunkowych, to przy interpretacji A wynoszą one \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), natomiast przy interpretacji B wynoszą \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) i \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\). Rozumiem, że to właśnie masz na myśli, gdy piszesz:

Nie, nie pasuje - przy podanej przez Ciebie interpretacji odpowiednie prawdopodobieństwa wynoszą kolejno \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), a nie - jak w argumencie - \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) i \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\).

Cytowane rozwiązanie dotyczyło treści oryginalnej i w tym kontekście - mam nadzieję - jest zupełnie jasne, do czego odnoszą się podane prawdopodobieństwa. Rzeczywiście staje się to mniej jasne, jeśli rozwiązanie próbuje się dopasować do nowej, wymyślonej przez Ciebie interpretacji, ale to Ty usiłujesz to zrobić, ja zaś twierdzę, że to niemożliwe.

Ale jeśli mimo wszystko próbować, to istotnie - tylko przez uznanie, że podane liczby są prawdopodobieństwami warunkowymi odpowiednich zdarzeń, bo to one są równe szukanym prawdopodobieństwom odkrycia kozy i samochodu odpowiednio (o czym w rozwiązaniu jest jawnie wspomniane).

Gdzie w treści podanego wyżej rozwiązania jest jakiekolwiek odwołanie do kluczowego tutaj faktu, że prowadzący zawsze otwiera bramkę z kozą?

Nigdzie, bo to nie kluczowy fakt, tylko jedno z wielu całkowicie równorzędnych założeń zadania. Czy podczas liczenia granic ktoś odwołuje się na każdym kroku do 'kluczowego' faktu, że dodawanie jest przemienne? Oczywiście nie.

Rozwiązania bowiem nie uznaje się za poprawne wtedy, gdy jawnie wspomina wszystkie 'kluczowe' założenia (nie wiem zresztą, jak miałoby wyglądać rozstrzyganie, które z założeń są 'kluczowe'). Rozwiązanie uznaje się za poprawne wtedy, kiedy dla każdego występującego w nim stwierdzenia łatwo jest sprawdzić, że musi ono być prawdziwe przy założeniu prawdziwości stwierdzeń występujących wcześniej oraz założeń zadania. Nie jest przy tym istotne, żeby do każdego z tych drugich jawnie się odwołać (nawet jeśli jest kluczowe ;P), choć czasem faktycznie elegancko jest fakt skorzystania z jakiegoś ciekawszego założenia wyraźnie podkreślić.

I tę charakteryzację poprawności omawiane rozwiązanie w całości spełnia.

Gdzie jest wyraźnie zaznaczone, że podkreślone fragmenty odnoszą się do prawdopodobieństw po otwarciu bramki przez prowadzącego?

Nigdzie, bo to rozwiązanie nie potrzebuje w ogóle takiego pojęcia jak "prawdopodobieństwo po otwarciu bramki" (zresztą znów nie wiem, co ono miałoby oznaczać). Przy jakimkolwiek sensownym wyborze przestrzeni zdarzeń elementarnych da się zdefiniować zdarzenia "początkowo gracz wskazał bramkę z kozą/samochodem". I jest oczywiste, że to o prawdopodobieństwach tych zdarzeń jest mowa.

Jeśli ktoś wybierze przestrzeń minimalistycznie, tj. \(\displaystyle{ \Omega = \{ k_1, k_2, s \}}\) (przy czym elementy oznaczają pierwszy wybór gracza), to rzeczonymi zdarzeniami są \(\displaystyle{ \{ k_1, k_2 \}}\) i \(\displaystyle{ \{ s \}}\).

Jeśli ktoś się jednak uprze, żeby zdarzenia elementarne były kompletnymi opisami zaistniałego scenariusza, i zdefiniuje przestrzeń tak:

\(\displaystyle{ \Omega = \{ (k_1, k_2, s), (k_2, k_1, s), (s, k_1, k_2), (s, k_2, k_1) \}}\)

(elementy trójek oznaczają kolejno: pierwszy wybór gracza, wybór prowadzącego, drugi wybór gracza) - wówczas odpowiednimi zdarzeniami są \(\displaystyle{ \{ (k_1, k_2, s), (k_2, k_1, s) \}}\) i \(\displaystyle{ \{ (s, k_1, k_2), (s, k_2, k_1) \}}\).

Niezależnie jednak od tego wyboru - prawdopodobieństwo pierwszego z tych zdarzeń zawsze wyniesie \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\), a drugiego \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) - i to jest w zasadzie wszystko, co w rozwiązaniu jest potrzebne.

wciąż pozostaje problem uzasadnienia faktu, że te prawdopodobieństwa wynoszą \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) i \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\). Prawomocne wyliczenie tych prawdopodobieństw jest w końcu istotą tego zadania. Przyjęcie bez żadnego uzasadnienia, że wynoszą one właśnie tyle, ile wynoszą, jest uchyleniem się od rozwiązania i podaniem samej odpowiedzi.

Poważnie sądzisz, że stwierdzenie "prawdopodobieństwo wskazania za pierwszym razem samochodu przez gracza wynosi jedna trzecia" wymaga uzasadnienia, a brak takiego uzasadnienia jest luką/błędem?

Jeśli to drugie, to nie zgadzam się z sugestią, że poprawne mogą być wyłącznie rozwiązania formalne - moim zdaniem wystarczy, żeby dało się je jednoznacznie sformalizować. Przytoczone rozwiązanie - również moim zdaniem - ten warunek spełnia.

Może i spełnia, ale według mnie tak samo spełnia je rozwiązanie:

Przy zamianie bramki wygrywamy samochód w \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) przypadków.

Zgadza się, ale oprócz poprawności rozwiązania pożądaną cechą jest jeszcze kompletność. I o ile ocena kompletności rozwiązania jest sprawą subiektywną, o tyle uważam, że omawiane rozwiązanie (po sformalizowaniu) jest zasadniczo kompletne, tj. uzupełnienie każdego z brakujących przejść jest sprawą istotnie łatwiejszą od samego zadania - czego rzecz jasna o cytowanym tu Twoim rozwiązaniu powiedzieć nie można.

Tego nie rozumiem. Co to jest zwyczajna moneta? Zwyczajna moneta = moneta wybita przez mennicę z jakiegoś kruszcu?

Szczerze mówiąc akurat w tym miejscu nie spodziewałem się prośby o doprecyzowanie. ;P Ale tak, można 'zwyczajną monetę' zdefiniować tak jak proponujesz. Albo: 'taka, która jest legalnym środkiem płatniczym w Polsce' (nie wiem, czy we wszystkich innych krajach mają zwyczajne monety ;P).

[Slup]

Skoro w tym opisie jest stwierdzone, że w pewnym momencie prowadzący otwiera bramkę z kozą, a nigdzie nie jest opisany wyjątek od tej reguły - to oczywiste jest, że tak się dzieje zawsze.

A gdyby w treści innego zadania (też z teleturniejem) zostało napisane, że w pewnym momencie prowadzący rzucił monetą i wypadł na niej orzeł, to przecież nie byłoby wcale oczywiste, że tak się dzieje zawsze tzn. że w każdym odcinku prowadzący rzuca monetą i zawsze wypada orzeł.

Nie rozumiem, po co toczymy spór, którego środkami formalnymi rozwiązać nie potrafimy? Zgadzam się, że można przyjąć założenie:

Jest więc chyba jasne, że treść zadania nie opisuje pojedynczego przypadku, tylko powtarzający się za każdym razem scenariusz programowy.

i wtedy zadanie staje się jednoznaczne. Jakiś procent ankietowanych odpowie, że to założenie ich zdaniem wynika z treści zadania. Inni będą twierdzili, że nie jest dla nich jasne, czy zadanie nie opisuje przypadkiem pojedynczego przebiegu teleturnieju. Spór między dwiema grupami jest nierozstrzygalny. Można natomiast ominąć cały problem i w treści zadania dokładnie opisać mechanizm wyboru bramki przez prowadzącego. To jest mój postulat i nie uważam, żeby był tak nonsensowny, że aż porównywalny z podawaniem koloru włosów prowadzącego.

Ukryta treść:    

W sumie to nic dziwnego, że uważam, że nie jest aż tak nonsensowny - to w końcu mój postulat.

Nie zgadzam się z twierdzeniem, że jest to opis nieprecyzyjny, przeciwnie: gdyby w rzeczonym teleturnieju prowadzący miał prawo po wyborze gracza nie otworzyć bramki z kozą (tj. otworzyć tę z samochodem lub nie otworzyć żadnej - wszystko jedno), to właśnie wtedy ten opis byłby dramatycznie nieprecyzyjny.

No właśnie! Czyli, żeby nadać zadaniu jednoznaczną interpretację, zakładasz, że prowadzący takiego prawa nie ma. Zgadzam się z tym i właściwie ciągle to powtarzam. Nie zgadzam się jedynie z tym, że z treści zadania to założenie wynika w jasny sposób. Poza tym uważam, że zadanie można ujednoznacznić przyjmując też inne założenia - na tym polega w końcu niejednoznaczność!

Jeśli się z tym nie zgadzasz, to odpowiedz na pytanie: czy według Ciebie sformułowanie "za jednymi [drzwiami] znajduje się samochód, a za pozostałymi kozy" jest nieprecyzyjne i wymaga uściślenia? A w przypadku braku uściślenia - czy sądzisz, że możliwa jest interpretacja, według której w każdą środę wszystkie trzy bramki zawierają kozę, a samochodu nie ma (a w pozostałe dni jest według opisu)?

Jeśli przyjąć założenie, że treść zadania podaje opis pojedynczego przebiegu teleturnieju, to dla rozwiązania zadania nie jest ważne, co zawierają bramki jakiegoś innego dnia. Jest więc możliwe, że w inne dni zawierają trzy kozy. Przy tej interpretacji jest natomiast bardzo istotna procedura, według której postępuje prowadzący przy wyborze swojej bramki w tym odcinku teleturnieju, którego dotyczy zadanie.
Przy czym ja wcale nie twierdzę, że zadanie opisuje przebieg pojedynczego teleturnieju. Nie twierdzę też, że opisuje powtarzający się w każdym odcinku teleturnieju scenariusz. Uważam tylko, że zadanie w wystarczająco jasny sposób nie precyzuje, która z tych możliwości ma miejsce.

Wracamy do dyskusji na temat zalinkowanego rozwiązania.

A sam problem, zwany paradoksem Monty Halla, ma raczej proste wyjaśnienie - jeśli na początku pokazaliśmy bramkę z samochodem (szansa \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)), to po zmianie wyboru na pewno trafimy na kozę. Ale jeśli na początku pokazaliśmy kozę (szansa \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\)), to na pewno po zmianie wyboru wygramy samochód. Szansa wygrania samochodu wynosi więc:
\(\displaystyle{ \frac{1}{3} \cdot 0+ \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3}}\).

Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie zdarzeniem, które dotyczy pierwszego podkreślenia. Według treści rozwiązania zdarzenie \(\displaystyle{ A}\) polega na tym, że gracz na początku wybrał bramkę z samochodem. Zdarzenie, które dotyczy drugiego podkreślenia, to wtedy dopełnienie \(\displaystyle{ A}\). Czym jest zdarzenie, którego prawdopodobieństwo opisane jest czerwonym wzorem? Z treści rozwiązania chyba wynika, że jest to zdarzenie \(\displaystyle{ B}\), które polega na tym, że zamiana bramki przez gracza prowadzi do wygranej samochodu. Czerwonym wzór to chyba zastosowanie wzoru

$$P(B) = P(A)\cdot P(B|A) + P(A')\cdot P(B|A')$$

Czerwonym wzór mówi, że \(\displaystyle{ P(B|A) = 0}\) i \(\displaystyle{ P(B|A')=1}\). Przy czym chyba można uwierzyć, że przestrzeń zdarzeń elementarnych jest skończona i każde zdarzenie elementarne ma dodatnie prawdopodobieństwo, a więc czerwonym wzór mówi po prostu tyle, że \(\displaystyle{ B = A'}\). Zatem rozwiązanie można sformułować inaczej następująco:

Przy zamianie bramki wygrywamy samochód wtedy i tylko wtedy, gdy na początku wybraliśmy bramkę z kozą.

prawdopodobieństwo, że na początku wybraliśmy bramkę z kozą wynosi \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) prawdopodobieństwo, że wygramy samochód po zamianie bramki wynosi \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\)

Zatem przy wymianie bramki wygrywamy z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\).

Jeśli ktoś wybierze przestrzeń minimalistycznie, tj. \(\displaystyle{ \Omega = \{ k_1, k_2, s \}}\) (przy czym elementy oznaczają pierwszy wybór gracza), to rzeczonymi zdarzeniami są \(\displaystyle{ \{ k_1, k_2 \}}\) i \(\displaystyle{ \{ s \}}\).

Zgadza się. Wtedy \(\displaystyle{ A = \{s\}}\), \(\displaystyle{ A' = \{k_1,k_2\}}\). Czym jest wtedy \(\displaystyle{ B}\)? Da się je w ogóle opisać przy tej \(\displaystyle{ \Omega}\)? Myślę, że trzeba przyjąć, że \(\displaystyle{ B = \{k_1,k_2\}}\). Jest to jakaś formalizacja rozwiązania'. Mnie ona nie satysfakcjonuje, ale trudno mi stwierdzić, co dokładnie mi nie odpowiada.

Jeśli ktoś się jednak uprze, żeby zdarzenia elementarne były kompletnymi opisami zaistniałego scenariusza, i zdefiniuje przestrzeń tak:

\(\displaystyle{ \Omega = \{ (k_1, k_2, s), (k_2, k_1, s), (s, k_1, k_2), (s, k_2, k_1) \}}\)

(elementy trójek oznaczają kolejno: pierwszy wybór gracza, wybór prowadzącego, drugi wybór gracza) - wówczas odpowiednimi zdarzeniami są \(\displaystyle{ \{ (k_1, k_2, s), (k_2, k_1, s) \}}\) i \(\displaystyle{ \{ (s, k_1, k_2), (s, k_2, k_1) \}}\).

Niezależnie jednak od tego wyboru - prawdopodobieństwo pierwszego z tych zdarzeń zawsze wyniesie \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\), a drugiego \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) - i to jest w zasadzie wszystko, co w rozwiązaniu jest potrzebne.

Ta formalizacja spełnia wszystkie moje postulaty. Informacja o wyborze bramki przez prowadzącego jest zawarta w formie zdarzeń elementarnych. Ponadto jest widoczne explicite, że prowadzący zawsze wybiera bramkę z kozą. Wyliczenie prawdopodobieństw zdarzeń \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ A'}\) nie jest bardzo skomplikowane, ale ich wartość wynika z nieklasycznego wyboru rozkładu \(\displaystyle{ P}\), który najpierw trzeba starannie opisać. Stąd uważam, że taka formalizacja odpowiada na wszystkie moje zarzuty wobec zalinkowanego przez Ciebie rozwiązania.

Gdzie w treści podanego wyżej rozwiązania jest jakiekolwiek odwołanie do kluczowego tutaj faktu, że prowadzący zawsze otwiera bramkę z kozą? Gdzie jest wyraźnie zaznaczone, że podkreślone fragmenty odnoszą się do prawdopodobieństw po otwarciu bramki przez prowadzącego? W obu przypadkach odpowiedź jest taka sama: nigdzie. Zakładając jednak, że w podanym wyżej rozwiązaniu te dwie - według mnie - dyskwalifikujące je luki byłyby uzupełnione, to wciąż pozostaje problem uzasadnienia faktu, że te prawdopodobieństwa wynoszą \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) i \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\). Prawomocne wyliczenie tych prawdopodobieństw jest w końcu istotą tego zadania. Przyjęcie bez żadnego uzasadnienia, że wynoszą one właśnie tyle, ile wynoszą, jest uchyleniem się od rozwiązania i podaniem samej odpowiedzi.

Poważnie sądzisz, że stwierdzenie "prawdopodobieństwo wskazania za pierwszym razem samochodu przez gracza wynosi jedna trzecia" wymaga uzasadnienia, a brak takiego uzasadnienia jest luką/błędem?

Poprzednio myślałem o prawdopodobieństwach warunkowych. Pewnie niesłusznie.

Natomiast od samego początku miałem na myśli, że zalinkowane przez Ciebie rozwiązanie również wydaje się pasować do następującego zadania'

Uczestnik ma przed sobą troje jednakowych drzwi. Za jednymi znajduje się samochód, a za pozostałymi kozy. Grający wybiera jedne drzwi (ale na razie nie otwiera się ich), po czym mechanizm losujący (np. oparty na rzucie monetą) otwiera jedne z niewybranych przez gracza drzwi. Za drzwiami jest koza. Teraz grający dokonuje ponownego wyboru. albo pozostaje przy pierwotnie wybranych drzwiach, albo zmienia decyzję, wybierając drugie z nieotwartych drzwi.

i "rozwiązanie":

Jeśli na początku pokazaliśmy bramkę z samochodem (szansa \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)), to po zmianie wyboru na pewno trafimy na kozę. Ale jeśli na początku pokazaliśmy kozę (szansa \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\)), to na pewno po zmianie wyboru wygramy samochód. Szansa wygrania samochodu wynosi więc:
\(\displaystyle{ \frac{1}{3} \cdot 0+ \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3}}\).

Ilu niewinnych maturzystów można w ten sposób nabrać? Podejrzewam, że sporo. W dodatku wątpię, czy zauważyliby oni różnicę, gdyby zamienić zadanie' na zadanie. Możliwe jest też jednak, że mierzę ich swoją miarą , co starasz się mi uświadomić .

Szczerze mówiąc akurat w tym miejscu nie spodziewałem się prośby o doprecyzowanie. ;P Ale tak, można 'zwyczajną monetę' zdefiniować tak jak proponujesz. Albo: 'taka, która jest legalnym środkiem płatniczym w Polsce' (nie wiem, czy we wszystkich innych krajach mają zwyczajne monety ;P).

Wtedy nie wiem, co oznacza "prawdopodobieństwo wypadnięcia reszki" w przypadku takiej monety. Dajmy już temu spokój .