Dystrybuanta i prawdopodobieństwo

[strawberry]

Cześć,
mam takie zadanie i nie jestem pewien odpowiedzi, jeżeli mogę kogoś prosić o weryfikację czy wytłumaczenie w razie błędy będę niezmiernie wdzięczny.

Treść:
Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład normalny o wartości średniej \(\displaystyle{ 0}\) oraz odchyleniu standardowym \(\displaystyle{ 0,1}\).
Wyznacz prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P(X^2 < 0,0025)}\).

Moja odpowiedź:
\(\displaystyle{ N(0; \space 0,1)}\)

\(\displaystyle{ Y = \frac{X-0}{0,1} - N(0;\space 1)}\)

\(\displaystyle{ P(X^2 < 0,0025) \rightarrow X > -0,05 \space \space lub \space \space X < 0,05}\)

\(\displaystyle{ P(X > -0,05) = 1 - \left(\frac{-0,05 - 0}{0,1}\right) = 1 - \Phi\left(-\frac{1}{2}\right) = 1 - \left[1 - \Phi\left(\frac{1}{2}\right)\right] = 1 - \left[1 - 0,6915\right] = 1 - 0,3085 = 0,6915}\)

\(\displaystyle{ P(X < 0,05) = \left(\frac{0,05 - 0}{0,1}\right) = \Phi\left(\frac{1}{2}\right) = 0,6915}\)

\(\displaystyle{ P(X^2 < 0,0025) = 0,6915 + 0,6915 = 1,383}\)

\(\displaystyle{ P(X^2 < 0,0025) \notin (0; \space 1)}\)

Nie wiem, czy to zadanie zrobiłem dobrze, jeśli gdzieś jest błąd proszę o napisanie, w którym miejscu się pomyliłem.

[Premislav]

\(\displaystyle{ P(X^2 < 0,0025) \rightarrow X > -0,05 \space \space lub \space \space X < 0,05}\)

To przejście jest niepoprawne. Powinno być \(\displaystyle{ \mathbf{P}\left(X^{2}<0,0025\right)=\mathbf{P}(X>-0,05\wedge X<0,05)}\). Dalej błąd propagował…
Czy skoro stwierdziłeś, że wyszło Ci prawdopodobieństwo większe od jedynki, to nie dostrzegasz sam, że coś na pewno jest źle?

[strawberry]

Dziękuję za szybką odpowiedź, myślałem, że jest jakiś haczyk w tym zadaniu, a zatem, czy teraz to zadanie jest poprawnie?
\(\displaystyle{ P(X > -0,05) = \left(\frac{-0,05 - 0}{0,1}\right) = \Phi\left(-\frac{1}{2}\right) = 1 - \Phi\left(\frac{1}{2}\right) = 1 - 0,6915 = 0,3085}\)

\(\displaystyle{ P(X < 0,05) = 1 - \left(\frac{0,05 - 0}{0,1}\right) = 1 - \Phi\left(\frac{1}{2}\right) = 0,3085}\)

\(\displaystyle{ P(X^2 < 0,0025) = 0,3085 + 0,3085 = 0,6170}\)

[Premislav]

Nie jest poprawnie. Powinno być tak:
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left(X^{2}<0,0025\right)\\=\mathbf{P}\left(-0,05<X\wedge X<0,05\right)\\=\mathbf{P}(X<0,05)-\mathbf{P}(X\le -0, 05)\\=\mathbf{P}\left(\frac{X-0}{0,1}<\frac{0,05-0}{0,1}\right)-\mathbf{P}\left(\frac{X-0}{0,1}\le -\frac{0,05-0}{0,1}\right)\\=\Phi\left(\frac{1}{2}\right)-\Phi\left(-\frac{1}{2}\right)=2\Phi\left(\frac{1}{2}\right)-1\approx 2\cdot 0,6915-1=0,383}\)


Chyba widzę, na czym polega problem, przyjmujesz złą definicję dystrybuanty, sądząc po podstawianych przez Ciebie liczbach (gdyż to, co otrzymałeś, to dokładnie \(\displaystyle{ 1-\text{poprawny wynik}}\)).
\(\displaystyle{ \Phi(x)=\mathbf{P}(X\le x)=\mathbf{P}(X<x)}\), gdy \(\displaystyle{ X\sim \mathcal{N}(0,1)}\), nie zaś \(\displaystyle{ \Phi(x)=\mathbf{P}(X>x)}\).

[strawberry]

Aha, już rozumiem, wyłożyłem się na takiej prostej rzeczy... Dziękuję serdecznie za pomoc