\(\displaystyle{ \mathbb E [(Y- \varphi^* (X)(\varphi^* (X)-\varphi(X))]= \mathbb E( \mathbb E [(Y- \varphi^* (X)(\varphi^* (X)-\varphi(X))]|X) =\mathbb E (\varphi^* (X)-\varphi(X)) \cdot \mathbb E (Y - \varphi ^* (X)|X)=0,}\)
gdzie \(\displaystyle{ \varphi^*(X):=\mathbb E (Y|X), }\) a \(\displaystyle{ \varphi}\) jest dowolną funkcją borelowską. Nie rozumiem konkretnie przejścia
\(\displaystyle{ \mathbb E( \mathbb E [(Y- \varphi^* (X)(\varphi^* (X)-\varphi(X))]|X) =\mathbb E (\varphi^* (X)-\varphi(X)) \cdot \mathbb E (Y - \varphi ^* (X)|X)}\)
i tego dlaczego to ma się równać zero. Pomożecie?EDIT:
Jeszcze chyba rozumiem, że
\(\displaystyle{ \mathbb E (Y - \varphi ^* (X)|X)=0}\)
wynika z własności w.w.o.
\(\displaystyle{ \mathbb E (X | F_1)=\mathbb E (\mathbb E (X |F_2)|F_1)=\mathbb E (\mathbb E (X |F_1)|F_2)}\)
jeśli \(\displaystyle{ F_1 \subset F_2 \subset M}\)ale skąd wynika przejście
\(\displaystyle{ \mathbb E( \mathbb E [(Y- \varphi^* (X)(\varphi^* (X)-\varphi(X))]|X) =\mathbb E (\varphi^* (X)-\varphi(X)) \cdot \mathbb E (Y - \varphi ^* (X)|X)}\) ?