Wyznaczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y=-X^2+2}\) , jeżeli \(\displaystyle{ EX=2, \space D^2X=1, \space EX^4=34}\)
Prawdopodobieństwo, że wutobus jest sprawny dla wszystkich autobusów jest takie samo i wynosi 0,8. Ile autobusów trzeba posiadać, aby z prawdopodobieństwem co najmniej 0,97 mieć sprawnych przynajmniej 120 autobusów?
Wartość oczekiwana, wariancja i prawdopodobieństwo
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Wartość oczekiwana, wariancja i prawdopodobieństwo
1)
\(\displaystyle{ Y = -X^2 +2 }\)
Z własności wartości oczekiwanej i wariancji
\(\displaystyle{ E(Y) = E(-X^2) + E(2) = -E(X^2) +2 }\)
Ze wzoru na wariancję
\(\displaystyle{ D^2(X) = E(X^2) - E^2(X) \rightarrow E(X^2) = D^2(X) + E^2(X) }\)
\(\displaystyle{ E(X^2) = 1 +2^2 = 5 }\)
\(\displaystyle{ E(Y) = -5 +2 = -3 }\)
\(\displaystyle{ D^2(Y) = D^2(-X^2) + D^2(2) = E(X^4) - E^2(-X^2) + 0 = 34 - (-5)^2 = 34 -25 = 9.}\)
2)
\(\displaystyle{ X_{1} \sim \mathcal{B}(0,8) }\)
Z twierdzenia de Moivre'a -Laplace'a na podstawie nierówności
\(\displaystyle{ P(\{ X_{n} \geq 120\}) \geq 0,97 }\)
obliczamy \(\displaystyle{ n }\) - ilość autobusów.
\(\displaystyle{ Y = -X^2 +2 }\)
Z własności wartości oczekiwanej i wariancji
\(\displaystyle{ E(Y) = E(-X^2) + E(2) = -E(X^2) +2 }\)
Ze wzoru na wariancję
\(\displaystyle{ D^2(X) = E(X^2) - E^2(X) \rightarrow E(X^2) = D^2(X) + E^2(X) }\)
\(\displaystyle{ E(X^2) = 1 +2^2 = 5 }\)
\(\displaystyle{ E(Y) = -5 +2 = -3 }\)
\(\displaystyle{ D^2(Y) = D^2(-X^2) + D^2(2) = E(X^4) - E^2(-X^2) + 0 = 34 - (-5)^2 = 34 -25 = 9.}\)
2)
\(\displaystyle{ X_{1} \sim \mathcal{B}(0,8) }\)
Z twierdzenia de Moivre'a -Laplace'a na podstawie nierówności
\(\displaystyle{ P(\{ X_{n} \geq 120\}) \geq 0,97 }\)
obliczamy \(\displaystyle{ n }\) - ilość autobusów.