Prawodopodobieństwo, problem

[Pawellekmed]

Cześć, wiecie może jak to obliczyć?
Mamy pule numerków [1,2,3,4...,60], losujemy po 1 numerku, zapisujemy numerek na kartce i go wkładamy z powrotem do puli. Czynność powtarzamy 100x. Jakie jest prawdopodobieństwo, że znajdzie się każda liczba z tej puli na kartce?

[Janusz Tracz]

Niech zbiór numerków to \(\displaystyle{ \mathcal{N}=\left[ 60\right] }\), a zbiór miejsc na kartce to \(\displaystyle{ \mathcal{K}=\left[ 100\right] }\). Wtedy zapisana kartka to ciąg stu numerów z \(\displaystyle{ \mathcal{N}}\) czyli pewna funkcja z \(\displaystyle{ \mathcal{K}}\) w \(\displaystyle{ \mathcal{N}}\) mówiąca jakie numery znalazły się na kartce. Wtedy zbiór wszystkich możliwych możliwych zapisanych kartek to inaczej zbiór wszystkich funkcja z \(\displaystyle{ \mathcal{K}}\) w \(\displaystyle{ \mathcal{N}}\) czyli \(\displaystyle{ \mathcal{K}^\mathcal{N}}\), jest to zarazem przestrzeń \(\displaystyle{ \Omega}\). Taka przestrzeń liczy sobie \(\displaystyle{ \left| \Omega\right|=\left| \mathcal{K}\right| ^{\left| \mathcal{N}\right|}=100^{60} }\) elementów. W przestrzeni tej żyją wszystkie zapisane kartki ale niektóre z nich mają wszystkie numerki z \(\displaystyle{ \mathcal{N}}\) a to oznacza, że kartki takie są suriekcjami \(\displaystyle{ \mathcal{K}}\) w \(\displaystyle{ \mathcal{N}}\). Bycie suriekcją jest w tym przypadku równoważne z kartką która ma wszystkie numery innymi słowy obraz kartki to cały zbiór \(\displaystyle{ \mathcal{N}}\) (wizualnie i definicyjnie) zatem prawdopodobieństwo interesującego nas zdarzenie to:

\(\displaystyle{ \mathscr{P}\left(\text{kartka ze wszystkimi numerami} \right) = \frac{\left| \left\{ \text{kartki}\in \mathcal{K}^{\mathcal{N}}: \text{kartka jest suriekcją} \right\}\right|}{\left| \Omega\right| } }\)

Zatem trzeba liczyć ile jest suriekcji z \(\displaystyle{ \left[ 100\right] }\) w \(\displaystyle{ \left[ 60\right] }\). Można to robić z zasady włączeń i wyłącznie lub posłużyć się interpretacją

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_Stirlinga#W%C5%82asno%C5%9Bci_liczb

.