Problem z zadaniem - Prawdopodobieństwo

[spellthy]

Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że losowo wybrana liczba naturalna będzie podzielna przez 5, ale nie przez 7.

[JHN]

Wśród liczb podzielnych przez \(\displaystyle{ 5}\) są liczby podzielne przez \(\displaystyle{ 7}\) - dzielą się one przez \(\displaystyle{ NWD(5,7)=35}\)
Jeśli \(\displaystyle{ p(A_5)={1\over5}}\) oraz \(\displaystyle{ p(A_{35})={1\over35}}\), to
\(\displaystyle{ p(A)=p(A_5\setminus A_{35})={1\over5}-{1\over35}}\)

Pozdrawiam

[Janusz Tracz]

A z czego wybieramy? Co jest naszą \(\displaystyle{ \Omega}\)? Bo jeśli \(\displaystyle{ \Omega=\NN}\) to widzę to tak, że można policzyć prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ \mathscr{P}_n}\) opisanych przez Ciebie zdarzeń gdzie \(\displaystyle{ \Omega=\left[ n\right] }\) a potem puścić \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty }\). Niech zatem \(\displaystyle{ \mathcal{A} \subseteq \Omega}\) będzie zbiorem liczb podzielnych przez \(\displaystyle{ 5}\), a \(\displaystyle{ \mathcal{B} \subseteq \Omega}\) będzie zbiorem liczb niepodzielnych przez \(\displaystyle{ 7}\). Wtedy liczmy:

\(\displaystyle{ \mathscr{P}_n\left( \mathcal{A} \cap \mathcal{B} \right) =\mathscr{P}_n\left( \mathcal{A} \right) \cdot \mathscr{P}_n\left(\mathcal{B} \right) = \mathscr{P}_n\left( \mathcal{A} \right) \cdot \left( 1-\mathscr{P}_n\left( \mathcal{B}^c \right) \right) = \frac{\left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor}{n} \cdot \left( 1- \frac{\left\lfloor \frac{n}{7} \right\rfloor}{n} \right) }\)

skorzystałem z niezależności zdarzeń \(\displaystyle{ \mathcal{A},\mathcal{B}}\) oraz z faktu że w zbiorze \(\displaystyle{ \left[ n\right] }\) jest \(\displaystyle{ \left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor}\) liczb podzielnych przez \(\displaystyle{ 5}\) (analogicznie \(\displaystyle{ 7}\)). Zatem odpowiedzią jest granica:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\mathscr{P}_n\left( \mathcal{A} \cap \mathcal{B} \right)= \lim_{n \to \infty } \frac{\left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor}{n} \cdot \left( 1- \frac{\left\lfloor \frac{n}{7} \right\rfloor}{n} \right) = \frac{1}{5} \cdot \left( 1- \frac{1}{7} \right) = \frac{6}{35} }\)