Wartość oczekiwana zmiennej losowej k dla rozkładu dwumianowego

[shreder221]

W jakimś skrypcie od prawdopodobieństwo znalazłem że

Wartość oczekiwana zmiennej losowej k dla rozkładu dwumianowego:
\(\displaystyle{ E(k) = np}\)

I wartość oczekiwana kwadratu odchylenia zmiennej losowej k od jej wartości oczekiwanej:
\(\displaystyle{ E((k − E(k))2) = npq = np(1 − p)}\)



Niby wzory na wartość oczekiwaną, rozkład dwumianowy i odchylenie znam ale i tak nie rozumiem skąd te wyniki?
Moglibyście je rozpisać ?

[szw1710]

Można oczywiście gimnastykować się wzorami sumacyjnymi. Natomiast elegancko jest skorzystać z tego, że suma \(n\) niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie zerojedynkowym ma rozkład dwumianowy. I wtedy korzystamy z ogólnego twierdzenia mówiącego o tym, jak wygląda wartość oczekiwana oraz wariancja ich sumy.

[Bozydar12]

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k {n \choose k} p^{k}q^{n-k}= \sum_{k=1}^{n} \frac{n!}{(n-k)!(k-1)!}p^k*q^{n-k} = np\sum_{k=0}^{n-1} \frac{n!}{(n-k-1)!k!}p^{k+1}q^{n-1-k}=np}\)

Dodano po 3 minutach 56 sekundach:
A prościej, rozkład dwumianowy jest zsumowanym rozkładem zmiennych o rozkładzie dwupunktowym z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ p}\). Wtedy wiemy, że \(\displaystyle{ E(X)=E(X1+X2+X3+...+Xn)=E(X1)+E(X2)+...E(Xn)}\), wiemy że każda zmienna rozkładzie dwupunktowym ma wartość oczekiwaną p, jest ich n. Stąd \(\displaystyle{ E(X)=np}\)