Rzut symetryczną monetą

[Iza8723]

Rzucamy niezaleznie symetryczną monetą. Jeśli wypadnie orzeł otrzymujemy \(\displaystyle{ 1}\) punkt,
jesli reszka \(\displaystyle{ 2}\) punkty. Początkowo mamy \(\displaystyle{ 0}\) punktów. Jakie jest prawdopodobieństwo,
że w któryms momencie uzyskamy dokładnie \(\displaystyle{ n}\) punktów (dla \(\displaystyle{ n \ge 9}\))?

[kerajs]

Dla parzystego n:
\(\displaystyle{ P= \sum_{i=0}^{ \frac{n}{2} } {n -2i \choose i} \left( \frac{1}{2} \right)^i \left( \frac{1}{2} \right)^{n-2i}}\)
Dla nieparzystego n:
\(\displaystyle{ P= \sum_{i=0}^{ \frac{n-1}{2} } {n -2i \choose i} \left( \frac{1}{2} \right)^i \left( \frac{1}{2} \right)^{n-2i}}\)

Każdy składnik sumy zawiera wybór \(\displaystyle{ i}\) numerów rzutów w których wypadnie reszka, prawdopodobieństwo wylosowania \(\displaystyle{ i}\) reszek oraz \(\displaystyle{ n-2i}\) orłów.

Pewnie można to uprościć.

[Iza8723]

Odpowiedź powinna być taka :
\(\displaystyle{ P= \frac{2}{3}+ \frac{1}{3}(- \frac{1}{2}) ^{n} }\)

[kerajs]

A skąd wiesz że nie jest? Sprawdziłaś kilka pierwszych n?
Ponadto napisałem:

Pewnie można to uprościć.

inaczej:    

\(\displaystyle{ P(k)}\) - prawdopodobieństwo otrzymania k punktów.
\(\displaystyle{ P(n)=P(n-1) \cdot \frac{1}{2}+ P(n-2) \cdot \frac{1}{2}\\
r^2= \frac{r}{2}+ \frac{1}{2}\\
(r-1)(r+\frac{1}{2})=0\\
P(n)=A(1)^n+B(\frac{-1}{2})^n\\
\begin{cases} P(1)= \frac{1}{2} =A-\frac{B}{2} \\ P(2)= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2}=A+\frac{B}{4} \end{cases} \\
P(n)=....}\)