Wektor (X,Y) ma dwuwymiarowy rozkład normalny \(\displaystyle{ N=(m, \sum_{}^{}) }\) ze średnią \(\displaystyle{ m=(0,0.5)}\) i macierzą kowariancji
\(\displaystyle{
\mathbf{ \sum_{}^{} } =
\left( \begin{array}{ccc}
1 & 1\\
1 & 4 \\
\end{array} \right)
}\)
Zdefiniujemy zmienne losowe \(\displaystyle{ U=e ^{x} }\) oraz \(\displaystyle{ V=e^ {y} }\), Ile wynosi \(\displaystyle{ Cov(U,V)}\) ?
Potrafi ktoś zrobic to zadanie? Albo podpowiedzieć jak zacząć ?
Macierz kowariancji
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Macierz kowariancji
Z wartości oczekiwanej i postaci macierzy kowariancji wynika, że zmienne losowe \(\displaystyle{ X , Y }\) mają rozkłady normalne odpowiednio \(\displaystyle{ \mathcal{N}_{X} = (0, \ \ 1), \ \ N_{Y} = ( 0,5, \ \ 4). }\)
Jeśli zmienna losowa \(\displaystyle{ X }\) ma rozkład \(\displaystyle{ N_{X} = (0, 1), }\) to można wykazać, że zmienna losowa \(\displaystyle{ U = e^{X} }\) ma rozkład logarytmiczno -normalny o funkcji gęstości \(\displaystyle{ f_{U}(u) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{1}{u} e^{-\frac{1}{2}\ln^2(u)}. }\)
Jeśli zmienna losowa \(\displaystyle{ Y }\) ma rozkład \(\displaystyle{ N_{Y} = (0,5, \ \ 4 ), }\) to można wykazać, że zmienna losowa \(\displaystyle{ V = e^{Y} }\) ma rozkład logarytmiczno -normalny o funkcji gęstości \(\displaystyle{ f_{V}(v) = \frac{1}{2\sqrt{2\pi}} \frac{1}{v} e^{-\frac{1}{8}(\ln(v) - 0,5)^2}. }\)
Zakładamy, że zmienne losowe \(\displaystyle{ U, \ \ V }\) są niezależne, więc gęstość łączna wektora losowego \(\displaystyle{ (U, V) }\) jest równa
\(\displaystyle{ f_{(U,V)}(u,v) = f_{U}(u)\cdot f_{V}(v) = \frac{1}{4\pi}\cdot \frac{1}{u\cdot v}e ^{-\frac{1}{2}\ln^2(u)} \cdot e^{- \frac{1}{8}\left(\ln(v) -\frac{1}{2}\right)^2}. }\)
Na podstawie definicji kowariancji dwuwymiarowej zmiennej losowej ciągłej
\(\displaystyle{ cov(U,V) = \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}(u - 0)(v- 0,5) f_{(U,V)}(u,v) du dv = \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty} u( v-0,5)\frac{1}{4\pi}\cdot \frac{1}{u\cdot v}e ^{-\frac{1}{2}\ln^2(u)} \cdot e^{- \frac{1}{8}\left(\ln(v) -\frac{1}{2}\right)^2} du dv. }\)
\(\displaystyle{ cov(U,V) = \frac{1}{4 \pi} \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}\ln^2(u)}\cdot e^{-\frac{1}{8}\left(\ln(v)- \frac{1}{2}\right)^2}du dv - \frac{1}{8\pi} \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty}\frac{1}{v} e^{-\frac{1}{2}\ln^2(u)}\cdot e^{-\frac{1}{8}\left(\ln(v)-\frac{1}{2}\right)^2}du dv. }\)
Pozostało nam obliczyć metodą podstawień różnicę tych dwóch całek podwójnych.
Można sprawdzić, że \(\displaystyle{ cov(U,V) = e^3 - \frac{1}{2}\sqrt{e}. }\)
Jeśli zmienna losowa \(\displaystyle{ X }\) ma rozkład \(\displaystyle{ N_{X} = (0, 1), }\) to można wykazać, że zmienna losowa \(\displaystyle{ U = e^{X} }\) ma rozkład logarytmiczno -normalny o funkcji gęstości \(\displaystyle{ f_{U}(u) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{1}{u} e^{-\frac{1}{2}\ln^2(u)}. }\)
Jeśli zmienna losowa \(\displaystyle{ Y }\) ma rozkład \(\displaystyle{ N_{Y} = (0,5, \ \ 4 ), }\) to można wykazać, że zmienna losowa \(\displaystyle{ V = e^{Y} }\) ma rozkład logarytmiczno -normalny o funkcji gęstości \(\displaystyle{ f_{V}(v) = \frac{1}{2\sqrt{2\pi}} \frac{1}{v} e^{-\frac{1}{8}(\ln(v) - 0,5)^2}. }\)
Zakładamy, że zmienne losowe \(\displaystyle{ U, \ \ V }\) są niezależne, więc gęstość łączna wektora losowego \(\displaystyle{ (U, V) }\) jest równa
\(\displaystyle{ f_{(U,V)}(u,v) = f_{U}(u)\cdot f_{V}(v) = \frac{1}{4\pi}\cdot \frac{1}{u\cdot v}e ^{-\frac{1}{2}\ln^2(u)} \cdot e^{- \frac{1}{8}\left(\ln(v) -\frac{1}{2}\right)^2}. }\)
Na podstawie definicji kowariancji dwuwymiarowej zmiennej losowej ciągłej
\(\displaystyle{ cov(U,V) = \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}(u - 0)(v- 0,5) f_{(U,V)}(u,v) du dv = \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty} u( v-0,5)\frac{1}{4\pi}\cdot \frac{1}{u\cdot v}e ^{-\frac{1}{2}\ln^2(u)} \cdot e^{- \frac{1}{8}\left(\ln(v) -\frac{1}{2}\right)^2} du dv. }\)
\(\displaystyle{ cov(U,V) = \frac{1}{4 \pi} \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty} e^{-\frac{1}{2}\ln^2(u)}\cdot e^{-\frac{1}{8}\left(\ln(v)- \frac{1}{2}\right)^2}du dv - \frac{1}{8\pi} \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty}\frac{1}{v} e^{-\frac{1}{2}\ln^2(u)}\cdot e^{-\frac{1}{8}\left(\ln(v)-\frac{1}{2}\right)^2}du dv. }\)
Pozostało nam obliczyć metodą podstawień różnicę tych dwóch całek podwójnych.
Można sprawdzić, że \(\displaystyle{ cov(U,V) = e^3 - \frac{1}{2}\sqrt{e}. }\)