Zdarzenia niezależne

[KotDrewniany1997]

Niech \(\displaystyle{ A,B,C}\) będą zdarzeniami. Niech
ponadto: \(\displaystyle{ p(A)= 0,5; p(B)=0,4; p(C)= 0,2}\) oraz zdarzenia \(\displaystyle{ A, B,C}\) niezależne. Policz
prawdopodobieństwo, że zachodzi przynajmniej jedno ze zdarzeń.

Obliczam prawdopodobieństwa że te zdarzenia nie zajdą.

\(\displaystyle{ p(A') = 1 - 0.5 = 0.5}\)
\(\displaystyle{ p(B') = 1 - 0.4 = 0.6}\)
\(\displaystyle{ p(C') = 1 - 0.2 = 0.8}\)

I teraz nie wiem. Bo chyba nie mogę zrobić \(\displaystyle{ 1 - 0.5 \cdot 0.6 \cdot 0.8}\) jak to są zdarzenia niezależne?

[Janusz Tracz]

Nie do kończą wiem skąd bierzesz ostatni wniosek bo zapisałeś tylko liczby. Proponuje zauważyć, że:

\(\displaystyle{ \mathscr{P} \left( \mathcal{A} \cup \mathcal{B} \cup \mathcal{C}\right) =\mathscr{P} \left( \mathcal{A} \right) +\mathscr{P} \left( \mathcal{B} \right) + \mathscr{P} \left( \mathcal{C}\right) - \mathscr{P} \left( \mathcal{A} \cap \mathcal{B}\right) - \mathscr{P} \left( \mathcal{A} \cap \mathcal{C}\right) - \mathscr{P} \left( \mathcal{B} \cap \mathcal{C}\right)+ \mathscr{P} \left( \mathcal{A} \cap \mathcal{B} \cap \mathcal{C}\right)}\)

Umiesz korzystając z niezależności zdarzeń zapisać każde z prawdopodobieństw po prawej?

[KotDrewniany1997]

\(\displaystyle{ P(A \cup B \cup C) = 0.5 + 0.4 + 0.2 - 0.5 \cdot 0.4 - 0.5 \cdot 0.2 - 0.4 \cdot 0.2 + 0.5 \cdot 0.4 \cdot 0.2 = 0.76}\)

Czyli \(\displaystyle{ 0.76}\) - prawdopodobieństwo zajścia zdarzeń \(\displaystyle{ A, B, C}\) jednocześnie

Myślałam, że jeżeli obliczę prawdopodobieństwo, że te zdarzenia nie zajdą i potem od jedynki iloczyn tych zdarzeń, to otrzymam prawdopodobieństwo, w którym zachodzi przynajmniej jedno z tych zdarzeń.

[Janusz Tracz]

Czyli \(\displaystyle{ 0.76}\) - prawdopodobieństwo zajścia zdarzeń \(\displaystyle{ A, B, C}\) jednocześnie

Wynik się zgadza ale komentarz jest błędny. To jest prawdopodobieństwo zająca przynajmniej jednego ze zdarzeń \(\displaystyle{ A,B,C}\) a nie prawdopodobieństwo ich jednoczesnego zajścia.

Myślałam, że jeżeli obliczę prawdopodobieństwo, że te zdarzenia nie zajdą i potem od jedynki iloczyn tych zdarzeń, to otrzymam prawdopodobieństwo, w którym zachodzi przynajmniej jedno z tych zdarzeń.

Aha to dobrze myślałeś. Tylko trzeba by uzasadnić dwa fakty (albo przynajmniej jakoś to skomentować):

\(\displaystyle{ 1)}\) \(\displaystyle{ \left( \mathcal{A} \cup \mathcal{B} \cup \mathcal{C}\right)'= \mathcal{A}' \cap \mathcal{B}' \cap \mathcal{C}' }\)

dowód:    

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Prawa_De_Morgana

\(\displaystyle{ 2)}\) Dla niezależnych zdarzeń \(\displaystyle{ \mathcal{A},\mathcal{B}}\) zdarzenia \(\displaystyle{ \mathcal{A}',\mathcal{B}'}\) też są niezależne.

dowód:    

\(\displaystyle{ \mathscr{P} \left( \mathcal{A} ' \cap \mathcal{B}'\right) =

\mathscr{P} \left( \left( \mathcal{A} \cup \mathcal{B}\right) ' \right) = 1- \mathscr{P} \left( \mathcal{A} \cup \mathcal{B} \right) = 1- \mathscr{P} \left( \mathcal{A} \right) - \mathscr{P} \left( \mathcal{B} \right)+ \mathscr{P} \left( \mathcal{A} \cap \mathcal{B} \right) = 1- \mathscr{P} \left( \mathcal{A} \right) - \mathscr{P} \left( \mathcal{B} \right)+ \mathscr{P} \left( \mathcal{A} \right) \mathscr{P} \left( \mathcal{B} \right) = \left( 1- \mathscr{P} \left( \mathcal{A} \right)\right) \cdot \left( 1-\mathscr{P} \left( \mathcal{B} \right)\right)
}\)

Wtedy faktycznie:

\(\displaystyle{ \mathscr{P} \left( \mathcal{A} \cup \mathcal{B} \cup \mathcal{C}\right) = 1- \mathscr{P}\left( \left( \mathcal{A} \cup \mathcal{B} \cup \mathcal{C}\right)'\right) = 1 - \mathscr{P} \left( \mathcal{A}' \cap \mathcal{B}' \cap \mathcal{C}'\right) =1- \mathscr{P} \left( \mathcal{A}'\right) \cdot \mathscr{P} \left( \mathcal{B}'\right) \cdot \mathscr{P} \left( \mathcal{C}'\right) }\)

wynik również wychodzi ten sam.