Zad2: Dla każdego doświadczenia losowego A,B,C podaj przestrzeń probabilistyczną i określ, która z nich jest klasyczna, a która z prawdopodobieństwem geometrycznym:
TUTAJ NIE WIEM JAK TO ROZPISYWAĆ, CZY TYLKO W NAWIASIE JAK JEST(Ω,F,P) CZY COŚ TRZEBA LICZYĆ, JA TUTAJ JAKIEŚ SWOJE PRÓBY WRZUCAM
a) A-rzucamy prawidłową monetą do momentu wyrzucenia orła po raz pierwszy
1- sukces
0 - porażka
\(\displaystyle{ | \Omega |=\{1, 01, 001, 0001, ...\} \\}\)
Omega chyba tak, bez osobnego zbioru z samych zer, skoro do momentu wyrzucenia orła ? czy i tak znak sumy i dodać{000...}?
\(\displaystyle{
P(1)=\frac{1}{2} \\
P(01)=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \\
P(001)=(\frac{1}{2})^{2} \cdot \frac{1}{2} \\
P(0001)=(\frac{1}{2})^{3} \cdot \frac{1}{2} \\
(...) \\
P(000...)= 0 \\
P(\{1,01,001,...\})=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^{2} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2} \sum_{ k=0 }^{ \infty} (\frac{1}{2})^{k}=1 \ czyli \ P(\Omega)=1
}\)
I tutaj dalej nie wiem czy tak zostawić czy coś jeszcze liczyć?
czy model klasyczny czy prawdopodobieństwo geometryczne: prawdopodobieństwo geometryczne
b) B- jaś losuje 3 cukierki, w której jest 3 krówki i 5 michałków
\(\displaystyle{ |\Omega|= {8 \choose 3} = 56 \\}\)
coś dalej liczyć?
czy model klasyczny czy prawdopodobieństwo geometryczne: model klasyczny
c) C - sznurek o długości 3m przecinamy w losowym miejscu i liczymy, że jedna z części będzie dwa razy większa od drugiej.
i tu nie wiem jak, ale chyba to prawdopodobieństwo geometryczne
Przestrzeń probabilistyczna
-
saymyname200
- Użytkownik
- Posty: 26
- Rejestracja: 3 lis 2018, o 19:02
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 16 razy
- Pomógł: 1 raz
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Przestrzeń probabilistyczna
Zadanie 2
A)
Doświadczenie losowe polega na rzucie symetryczną monetą, do momentu wyrzucenia po raz pierwszy orła.
Model doświadczenia losowego:
\(\displaystyle{ ( \Omega, \ \ \mathcal{F}, \ \ P) }\)
\(\displaystyle{ \Omega }\) - zbiór (przestrzeń) wszystkich zdarzeń elementarnych
Oznaczenie zdarzeń:
\(\displaystyle{ O - }\) wypadnięcie orła,
\(\displaystyle{ R - }\) wypadnięcie reszki.
Zdarzenia elementarne
\(\displaystyle{ \omega_{1} = (O), \ \ \omega_{2} = (R,O), \ \ \omega_{3} = (R,R,O), \ \ \omega_{4} = (R,R,R,O) ... }\)
Elementami przestrzeni \(\displaystyle{ \Omega }\) są wszystkie możliwe wyniki eksperymentu, w tym wypadku możemy zapisać je w postaci ciągów skończonych, w których początkowe elementy to same reszki, a ostatni element to orzeł oraz jeden ciąg nieskończony składający się z samych reszek. Takich ciągów jest nieskończenie wiele, więc przestrzeń \(\displaystyle{ \Omega }\) nie jest przestrzenią skończoną.
\(\displaystyle{ \mathcal{F} = 2^{\Omega} }\) - klasa wszystkich podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \Omega }\) (zdarzeń probabilizowalnych).
\(\displaystyle{ P }\) - rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze \(\displaystyle{ \Omega }\)
Opisany wyżej eksperyment odpowiada rozkładowi geometrycznemu, bo jest to eksperyment losowy, polegający na powtarzaniu tego samego doświadczenia (rzutu monetą) o dwóch możliwych wynikach - sukcesie (wypadnięcie orła) i porażce (wypadnięcie reszki), aż do pierwszego sukcesu.
\(\displaystyle{ P(\omega_{k}) = \frac{1}{2}\left( 1 - \frac{1}{2}\right)^{k-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{k}, \ \ k =1,2,... }\)
Modele B) , C) - opisujemy podobnie.
Model \(\displaystyle{ B) }\) losowanie cukierków przez Jasia.
Zbiór \(\displaystyle{ \Omega- }\) - skończony, składa się z ośmiu cukierków.
Klasa zdarzeń probabilizowalnych \(\displaystyle{ \mathcal{F} = 2^{\Omega} }\) skończona.
Rozkład prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ P }\) na zbiorze \(\displaystyle{ \Omega - }\) hipergeometryczny \(\displaystyle{ \mathcal{H}(8, 3, 5).}\)
C) - model geometryczny przecinania sznurka o danej długości \(\displaystyle{ |L| = 3 m }\) w losowym miejscu.
Model równoważny - losowe umieszczanie punktu w odcinku o długości \(\displaystyle{ |L|. }\)
Zbiór wszystkich podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \Omega, \ \ \mathcal{F} = 2^{\Omega} }\) - nieskończony.
Zbiór \(\displaystyle{ \Omega }\) - nieskończony zbiór punktów sznurka o długości \(\displaystyle{ |L|. }\)
Rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze \(\displaystyle{ \Omega }\)
\(\displaystyle{ P(\{ l \}) = \frac{|l|}{|\Omega|} = \frac{|l|}{|L|},}\)
gdzie \(\displaystyle{ |l| }\) - jest na przykład długością sznurka od miejsca zaczepienia (trzymania) do punku jego przecięcia.
A)
Doświadczenie losowe polega na rzucie symetryczną monetą, do momentu wyrzucenia po raz pierwszy orła.
Model doświadczenia losowego:
\(\displaystyle{ ( \Omega, \ \ \mathcal{F}, \ \ P) }\)
\(\displaystyle{ \Omega }\) - zbiór (przestrzeń) wszystkich zdarzeń elementarnych
Oznaczenie zdarzeń:
\(\displaystyle{ O - }\) wypadnięcie orła,
\(\displaystyle{ R - }\) wypadnięcie reszki.
Zdarzenia elementarne
\(\displaystyle{ \omega_{1} = (O), \ \ \omega_{2} = (R,O), \ \ \omega_{3} = (R,R,O), \ \ \omega_{4} = (R,R,R,O) ... }\)
Elementami przestrzeni \(\displaystyle{ \Omega }\) są wszystkie możliwe wyniki eksperymentu, w tym wypadku możemy zapisać je w postaci ciągów skończonych, w których początkowe elementy to same reszki, a ostatni element to orzeł oraz jeden ciąg nieskończony składający się z samych reszek. Takich ciągów jest nieskończenie wiele, więc przestrzeń \(\displaystyle{ \Omega }\) nie jest przestrzenią skończoną.
\(\displaystyle{ \mathcal{F} = 2^{\Omega} }\) - klasa wszystkich podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \Omega }\) (zdarzeń probabilizowalnych).
\(\displaystyle{ P }\) - rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze \(\displaystyle{ \Omega }\)
Opisany wyżej eksperyment odpowiada rozkładowi geometrycznemu, bo jest to eksperyment losowy, polegający na powtarzaniu tego samego doświadczenia (rzutu monetą) o dwóch możliwych wynikach - sukcesie (wypadnięcie orła) i porażce (wypadnięcie reszki), aż do pierwszego sukcesu.
\(\displaystyle{ P(\omega_{k}) = \frac{1}{2}\left( 1 - \frac{1}{2}\right)^{k-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{k}, \ \ k =1,2,... }\)
Modele B) , C) - opisujemy podobnie.
Model \(\displaystyle{ B) }\) losowanie cukierków przez Jasia.
Zbiór \(\displaystyle{ \Omega- }\) - skończony, składa się z ośmiu cukierków.
Klasa zdarzeń probabilizowalnych \(\displaystyle{ \mathcal{F} = 2^{\Omega} }\) skończona.
Rozkład prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ P }\) na zbiorze \(\displaystyle{ \Omega - }\) hipergeometryczny \(\displaystyle{ \mathcal{H}(8, 3, 5).}\)
C) - model geometryczny przecinania sznurka o danej długości \(\displaystyle{ |L| = 3 m }\) w losowym miejscu.
Model równoważny - losowe umieszczanie punktu w odcinku o długości \(\displaystyle{ |L|. }\)
Zbiór wszystkich podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \Omega, \ \ \mathcal{F} = 2^{\Omega} }\) - nieskończony.
Zbiór \(\displaystyle{ \Omega }\) - nieskończony zbiór punktów sznurka o długości \(\displaystyle{ |L|. }\)
Rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze \(\displaystyle{ \Omega }\)
\(\displaystyle{ P(\{ l \}) = \frac{|l|}{|\Omega|} = \frac{|l|}{|L|},}\)
gdzie \(\displaystyle{ |l| }\) - jest na przykład długością sznurka od miejsca zaczepienia (trzymania) do punku jego przecięcia.