Dwuwymiarowy wektor losowy \(\displaystyle{ (ξ, η)}\) ma gęstość \(\displaystyle{ f(x,y) = \begin{cases} 1/8, |x-2|+|y-2|<2 \\ 0, wp.p\end{cases} }\)
Znaleźć gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej \(\displaystyle{ X=ξ − η}\).
Zacząłem od postaci dystrybuanty \(\displaystyle{ P(X \le t)}\), ostatecznie uzyskując \(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{t} \int_{- \infty }^{ \infty } f_{ξ |η=u}(x+u)f_η(u)dudx}\), gdzie to, co pod środkową całką do du, będzie oznaczać \(\displaystyle{ f_X(x)}\). Potrzebuję wyznaczyć \(\displaystyle{ f_{ξ |η=u}(x+u)= \frac{f(x+u,u)}{f_η(u)} }\). Policzyłem, iż \(\displaystyle{ f_η(y)= \int_{-y+2}^{y+2} \frac{1}{8}dx = \frac{y}{4} }\) dla \(\displaystyle{ y \in (0,2)}\) oraz \(\displaystyle{ \int_{y-2}^{-y+6} \frac{1}{8}dx =1- \frac{y}{4} }\) dla \(\displaystyle{ y \in [2,4)}\). (Czy jest to dobrze wyliczone?). Wtedy \(\displaystyle{ f_{ξ |η=u}(x+u)= \frac{ \frac{1}{8} }{ \frac{x+u}{4} } }\) dla \(\displaystyle{ u \in (0,2)}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{ \frac{1}{8} }{1- \frac{x+u}{4} } }\) dla \(\displaystyle{ u \in [2,4)}\)
Wtedy wystarczyłoby policzyć całkę wypisaną wyżej. Czy jest to poprawne rozwiązanie tego zadania?