Zadanie z nierówności Czebyszewa

[Gandalf2]

Witam,
mam problem z następującym zadaniem. Ktoś byłby w stanie mi w nim pomóc?

Wykonujemy 100 rzutów symetryczną kostką. Korzystając z nierówności Czebyszewa oszacować przedział, w jaki z prawdopodobieństwem 0.85 wpada liczba otrzymanych szóstek.

[Premislav]

Masz tu zmienną losową \(\displaystyle{ X}\) o rozkładzie dwumianowym z parametrami \(\displaystyle{ n=100, \ p=\frac{1}{6}}\)
Jej wartość oczekiwana wynosi \(\displaystyle{ np=\frac{100}{6}=\frac{50}{3}}\), a wariancja jest równa \(\displaystyle{ npq=np(1-p)=\frac{125}{9}}\)
Z nierówności Czebyszewa-Bienayme mamy dla dowolnego \(\displaystyle{ x>0}\):
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left(|X-\mathbf{E}X|\ge x\right)\le \frac{\mathrm{Var} X}{x^{2}}}\)
czyli
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left(\left|X-\frac{50}{3}\right|\ge x\right)\le \frac{125}{9x^{2}}}\)
Nam zależy na takim \(\displaystyle{ x}\), by to prawdopodobieństwo nie przekraczało \(\displaystyle{ 0,15}\), wtedy będzie bowiem
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left(\left|X-\frac{50}{3}\right|< x\right)\ge 0,85}\)
Czyli masz do rozwiązania nierówność \(\displaystyle{ \frac{125}{9x^{2}}\le 0,15}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\), oczywiście w dodatnich \(\displaystyle{ f(x)=\frac{125}{9x^{2}}}\) jest malejąca, więc wystarczy wskazać najmniejsze takie \(\displaystyle{ x}\), to dla większych w oczywisty sposób zajdzie. Rozwiązanie nierówności kwadratowej Ci zostawiam.

[Gandalf2]

Masz tu zmienną losową \(\displaystyle{ X}\) o rozkładzie dwumianowym z parametrami \(\displaystyle{ n=100, \ p=\frac{1}{6}}\)
Jej wartość oczekiwana wynosi \(\displaystyle{ np=\frac{100}{6}=\frac{50}{3}}\), a wariancja jest równa \(\displaystyle{ npq=np(1-p)=\frac{125}{9}}\)
Z nierówności Czebyszewa-Bienayme mamy dla dowolnego \(\displaystyle{ x>0}\):
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left(|X-\mathbf{E}X|\ge x\right)\le \frac{\mathrm{Var} X}{x^{2}}}\)
czyli
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left(\left|X-\frac{50}{3}\right|\ge x\right)\le \frac{125}{9x^{2}}}\)
Nam zależy na takim \(\displaystyle{ x}\), by to prawdopodobieństwo nie przekraczało \(\displaystyle{ 0,15}\), wtedy będzie bowiem
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left(\left|X-\frac{50}{3}\right|< x\right)\ge 0,85}\)
Czyli masz do rozwiązania nierówność \(\displaystyle{ \frac{125}{9x^{2}}\le 0,15}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\), oczywiście w dodatnich \(\displaystyle{ f(x)=\frac{125}{9x^{2}}}\) jest malejąca, więc wystarczy wskazać najmniejsze takie \(\displaystyle{ x}\), to dla większych w oczywisty sposób zajdzie. Rozwiązanie nierówności kwadratowej Ci zostawiam.

Nie zgadza się jedynie EX, które w odpowiedzi w książce jest podane jako 1/60 i nie wiem z czego to wynika

[Premislav]

Najwyraźniej w odpowiedzi co innego potraktowano w charakterze zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\), ponieważ jeśli miałaby to być liczba wystąpień szóstki w stu rzutach symetryczną sześcienną kostką, to oczywiście, że co najmniej jedna szóstka wystąpi z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1-\left(\frac{5}{6}\right)^{100}>\frac{1}{60}}\), skąd od razu widać, że podana w odpowiedziach liczba nie może być wartością oczekiwaną takiej zmiennej losowej. Ewentualnie to jakiś błąd redakcyjny. Ani za jedno (inny sposób rozwiązania), ani za drugie nie odpowiadam.