Wahanie kwadratowe

[buncolgit]

Hej jak pokazać że wahanie kwadratowe funkcji klasy \(\displaystyle{ C^1 f:[0,T]\to\mathbb{R}}\) jest równe \(\displaystyle{ 0}\)? Tzn. że \(\displaystyle{ \sum_{j=0}^{n-1}(f(t_{j+1})-f(t_j))^2\to 0}\) gdy średnica podziału \(\displaystyle{ [0,T]}\) zmierza do \(\displaystyle{ 0}\)?

[matmatmm]

Twierdzenie Lagrange'a o wartości średniej użyj.

[buncolgit]

Dodano po 47 sekundach:

Twierdzenie Lagrange'a o wartości średniej użyj.

Coś takiego?

\(\displaystyle{ \sum_{j=0}^{n-1}(f(t_{j+1})-f(t_j))^2=\sum_{j=0}^{n-1}(f'(c_j)\cdot(t_{j+1}-t_j))^2=\sum_{j=0}^{n-1}f'(c_j)^2\cdot(t_{j+1}-t_j)^2=\max_{j=1,...,n}\{t_{j+1}-t_j\}\sum_{j=0}^{n-1}f'(c_j)^2\cdot(t_{j+1}-t_j) }\)

I jak to dalej pociągnąć żeby wyszło zero?

[matmatmm]

\(\displaystyle{ \sum_{j=0}^{n-1}(f(t_{j+1})-f(t_j))^2=\sum_{j=0}^{n-1}(f'(c_j)\cdot(t_{j+1}-t_j))^2=\sum_{j=0}^{n-1}f'(c_j)^2\cdot(t_{j+1}-t_j)^2 \blue{=} \red{\max_{j=1,...,n}\{t_{j+1}-t_j\}}\sum_{j=0}^{n-1}f'(c_j)^2\cdot(t_{j+1}-t_j) }\)

I jak to dalej pociągnąć żeby wyszło zero?

Ostatnia (niebieska) równość powinna być nierównością.
Czerwony fragment to średnica podziału.
\(\displaystyle{ |f'(c_j)|}\) szacuje się przez \(\displaystyle{ M=\sup\{|f'(x)|: x\in [0,T]\}}\) (\(\displaystyle{ f'}\) jest ograniczona jako funkcja ciągła na zbiorze zwartym).

[buncolgit]

\(\displaystyle{ \sum_{j=0}^{n-1}(f(t_{j+1})-f(t_j))^2=\sum_{j=0}^{n-1}(f'(c_j)\cdot(t_{j+1}-t_j))^2=\sum_{j=0}^{n-1}f'(c_j)^2\cdot(t_{j+1}-t_j)^2 \blue{=} \red{\max_{j=1,...,n}\{t_{j+1}-t_j\}}\sum_{j=0}^{n-1}f'(c_j)^2\cdot(t_{j+1}-t_j) }\)

I jak to dalej pociągnąć żeby wyszło zero?

Ostatnia (niebieska) równość powinna być nierównością.
Czerwony fragment to średnica podziału.
\(\displaystyle{ |f'(c_j)|}\) szacuje się przez \(\displaystyle{ M=\sup\{|f'(x)|: x\in [0,T]\}}\) (\(\displaystyle{ f'}\) jest ograniczona jako funkcja ciągła na zbiorze zwartym).

Ok czyli podsumowując będzie coś takiego
\(\displaystyle{ \sum_{j=0}^{n-1}(f(t_{j+1})-f(t_j))^2=\sum_{j=0}^{n-1}(f'(c_j)\cdot(t_{j+1}-t_j))^2=\sum_{j=0}^{n-1}f'(c_j)^2\cdot(t_{j+1}-t_j)^2 \le M^2\cdot\max_{j=1,...,n}\{t_{j+1}-t_j\}\sum_{j=0}^{n-1}(t_{j+1}-t_j)=M^2\cdot\max_{j=1,...,n}\{t_{j+1}-t_j\}\cdot T\to 0}\)
A ponieważ wahanie kwadratowe jest nieujemne to ostatecznie mamy że wynosi \(\displaystyle{ 0}\). Teraz jest ok?

[matmatmm]

Jest ok, chociaż ja osobiście wprowadziłbym dodatkowe wskaźniki np. po \(\displaystyle{ k\in\NN}\) na oznaczenie z którego podziału bierzemy punkty i zaznaczyłbym, że granica jest przy \(\displaystyle{ k\to\infty}\).