Funkcja wektora losowego

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Bozydar12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 155
Rejestracja: 5 paź 2019, o 09:46
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 3 razy

Funkcja wektora losowego

Post autor: Bozydar12 »

Dana jest gęstość wektora losowego \(\displaystyle{ (X,Y)\sim f(x,y)=\begin{cases} xe^{-x(y-x)},y>x,0<x<1\\ 0,wp.p\end{cases}}\).
Wyznaczyć \(\displaystyle{ P(Y>k(X))}\), gdzie \(\displaystyle{ k(X)=E(Y|X)}\).
Wyznaczyłem w tym zadaniu \(\displaystyle{ f_X(x)=1(0<x<1)}\) oraz policzyłem \(\displaystyle{ k(x)=x+ \frac{1}{x} }\), czyli \(\displaystyle{ k(X)=X+ \frac{1}{X}) }\). Jak obliczyć stąd prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P(Y>X+ \frac{1}{X} }\)?
Ostatnio zmieniony 25 maja 2020, o 21:44 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Funkcja wektora losowego

Post autor: Tmkk »

Nie sprawdzałem rachunków, ale jeśli chodzi o samo prawdopodobieństwo, to będzie

\(\displaystyle{ \mathbb{P}\left(Y > X + \frac{1}{X}\right) = \mathbb{P}\left(\left(X,Y\right) \in A \right)}\)

gdzie \(\displaystyle{ A = \left\{ (x,y) : y > x + \frac{1}{x}\right\} }\), czyli

\(\displaystyle{ \mathbb{P}\left(Y > X + \frac{1}{X}\right) = \int_{A} f(x,y)dxdy}\).
Bozydar12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 155
Rejestracja: 5 paź 2019, o 09:46
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Funkcja wektora losowego

Post autor: Bozydar12 »

Narysowałem sobie rysunek tego, czyli teraz jak zapisać to w postaci całkowej? Bo część \(\displaystyle{ y>x+ \frac{1}{x} }\) dla dodatnich \(\displaystyle{ x}\) jest opisane krzywą, stąd nie wiem jak opisać zmiany dx i dy. \(\displaystyle{ \int_{2}^{ \infty } \int_{x+ \frac{1}{x} }^{ \infty } f(x,y)dxdy }\)? Czy musze zacząć od minimum tego wykresu?
Edit. Właśnie widzę ze to co napisałem jest napewno błędne, ale nie wiem jak to poprawić. Pozatym, do czego mi w tym przypadku jest rozkład zmiennej \(\displaystyle{ X}\)?
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Funkcja wektora losowego

Post autor: Tmkk »

Nie do końca.

Popatrzmy na wykres (mam nadzieję, że masz dobrze narysowany) i spróbujemy podzielić ten obszar na pionowe kreski. Ustalmy dowolny \(\displaystyle{ x \in (0,1)}\). Gdzie wówczas zaczyna się i kończy pionowa kreska o pierwszej współrzędnej \(\displaystyle{ x}\) zawarta w tym obszarze?
Bozydar12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 155
Rejestracja: 5 paź 2019, o 09:46
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Funkcja wektora losowego

Post autor: Bozydar12 »

Tmkk pisze: 25 maja 2020, o 21:38 Nie do końca.

Popatrzmy na wykres (mam nadzieję, że masz dobrze narysowany) i spróbujemy podzielić ten obszar na pionowe kreski. Ustalmy dowolny \(\displaystyle{ x \in (0,1)}\). Gdzie wówczas zaczyna się i kończy pionowa kreska o pierwszej współrzędnej \(\displaystyle{ x}\) zawarta w tym obszarze?
Zaczyna się w \(\displaystyle{ x+ \frac{1}{x} }\), kończy w nieskonczoności.
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Funkcja wektora losowego

Post autor: Tmkk »

No własnie i tak dla każdego \(\displaystyle{ x \in (0,1)}\). Stąd szukana całka to

\(\displaystyle{ \int_0^1 \int_{x+\frac{1}{x}}^\infty xe^{-x(y-x)}dydx}\)

Rozkład samego \(\displaystyle{ X}\) był Ci potrzebny do znalezienia warunkowej wartości oczekiwanej, prawda?
Bozydar12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 155
Rejestracja: 5 paź 2019, o 09:46
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 3 razy

Re: Funkcja wektora losowego

Post autor: Bozydar12 »

Ah, więc to aż tak proste, a ja znów szukam nie do końca wiem czego. Bardzo dziękuje za pomoc ponownie!
ODPOWIEDZ