kule w pudełkach

[Pietras2001]

\(\displaystyle{ 25}\) ponumerowanych kul wkładamy do \(\displaystyle{ 7}\) ponumerowanych szufladek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że dokładnie \(\displaystyle{ 2}\) szufladki będą puste.

Widziałem rozwiązanie tego zadania korzystające z liczb Stirlinga. Niestety nie znam tego pojęcia. Czy da się to zrobić inaczej, albo co to są te liczby i jak je wykorzystywać?

[a4karo]

Wskazówki
Ustal sobie dwie szufladki, które mają być puste. Na ile sposobów możesz to zrobić?

Fakt, że kule są ponumerowane nie ma żadnego znaczenia.

Potem do każdego z pięciu pudełek wkładasz po jednej kuli, a pozostałych 20 wkładasz jakkolwiek do 5 pudełek (na ile sposobów możesz to zrobić?)

Ile jest wszystkich sposobów włożenia kul do wszystkich szuflad?

[Pietras2001]

puste pudełka wybieramy na \(\displaystyle{ {7 \choose 2} }\)
5 kul włożymy na \(\displaystyle{ 25\cdot 24\cdot 23\cdot 22\cdot 21}\)
pozostałe \(\displaystyle{ 20}\) na \(\displaystyle{ 5^{20} }\)

moc zbioru omega: \(\displaystyle{ 7^{25} }\)

O to chodziło?

[a4karo]

Tak, tyle, że nie musisz liczyć na ile sposobów wkładasz te pojedyncze kule (bo ich numeracja jest nieistotna)

[Pietras2001]

Co to znaczy, że numeracja jest nieistotna? Nie musimy liczyć tego \(\displaystyle{ 25\cdot 24\cdot 23\cdot 22\cdot 21}\)?

[kerajs]

Moim zdaniem numeracja jest istotna.

Wtedy liczba zdarzeń sprzyjających:
a) stosując liczby Stirlinga drugiego rodzaju :
\(\displaystyle{ {7 \choose 5} \cdot {25\brace 5} \cdot 5!}\)
b) stosując zasadę włączeń i wyłączeń :
\(\displaystyle{ {7 \choose 5} \left( 5^{25}- {5 \choose 4}4^{25}+{5 \choose 3}3^{25} -{5 \choose 2}2^{25}+{5 \choose 1}1^{25}\right) }\)

[Pietras2001]

Czy mógłbyś wyjaśnić jak otrzymujesz te wyniki?
Szczególnie liczby Stirlinga są dla mnie interesujące, bo nigdy o nich nie słyszałem.

[kerajs]

a) :
\(\displaystyle{ {7 \choose 5} }\) to liczba zestawów zajętych ( pięciu) szufladek
\(\displaystyle{ {25\brace 5} }\) to liczba podziałów zbioru 25 elementowego na 5 niepustych i rozłącznych podzbiorów
\(\displaystyle{ 5!}\) przypisanie tym podzbiorom numerów szufladek.
b) :
\(\displaystyle{ {7 \choose 5} }\) to liczba zestawów zajętych ( pięciu) szufladek
\(\displaystyle{ \left( 5^{25}-...\right) }\) liczba rozmieszczeń 25 elementów w 5 szufladkach
\(\displaystyle{ \left( ….- {5 \choose 4}4^{25}+{5 \choose 3}3^{25} -{5 \choose 2}2^{25}+{5 \choose 1}1^{25}\right) }\) pozbycie się tych rozstawień w których elementy zajmują mniej niż 5 szufladek.