kule w pudełkach
-
- Użytkownik
- Posty: 49
- Rejestracja: 7 gru 2016, o 19:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
kule w pudełkach
\(\displaystyle{ 25}\) ponumerowanych kul wkładamy do \(\displaystyle{ 7}\) ponumerowanych szufladek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że dokładnie \(\displaystyle{ 2}\) szufladki będą puste.
Widziałem rozwiązanie tego zadania korzystające z liczb Stirlinga. Niestety nie znam tego pojęcia. Czy da się to zrobić inaczej, albo co to są te liczby i jak je wykorzystywać?
Widziałem rozwiązanie tego zadania korzystające z liczb Stirlinga. Niestety nie znam tego pojęcia. Czy da się to zrobić inaczej, albo co to są te liczby i jak je wykorzystywać?
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: kule w pudełkach
Wskazówki
Ustal sobie dwie szufladki, które mają być puste. Na ile sposobów możesz to zrobić?
Fakt, że kule są ponumerowane nie ma żadnego znaczenia.
Potem do każdego z pięciu pudełek wkładasz po jednej kuli, a pozostałych 20 wkładasz jakkolwiek do 5 pudełek (na ile sposobów możesz to zrobić?)
Ile jest wszystkich sposobów włożenia kul do wszystkich szuflad?
Ustal sobie dwie szufladki, które mają być puste. Na ile sposobów możesz to zrobić?
Fakt, że kule są ponumerowane nie ma żadnego znaczenia.
Potem do każdego z pięciu pudełek wkładasz po jednej kuli, a pozostałych 20 wkładasz jakkolwiek do 5 pudełek (na ile sposobów możesz to zrobić?)
Ile jest wszystkich sposobów włożenia kul do wszystkich szuflad?
-
- Użytkownik
- Posty: 49
- Rejestracja: 7 gru 2016, o 19:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
Re: kule w pudełkach
puste pudełka wybieramy na \(\displaystyle{ {7 \choose 2} }\)
5 kul włożymy na \(\displaystyle{ 25\cdot 24\cdot 23\cdot 22\cdot 21}\)
pozostałe \(\displaystyle{ 20}\) na \(\displaystyle{ 5^{20} }\)
moc zbioru omega: \(\displaystyle{ 7^{25} }\)
O to chodziło?
5 kul włożymy na \(\displaystyle{ 25\cdot 24\cdot 23\cdot 22\cdot 21}\)
pozostałe \(\displaystyle{ 20}\) na \(\displaystyle{ 5^{20} }\)
moc zbioru omega: \(\displaystyle{ 7^{25} }\)
O to chodziło?
Ostatnio zmieniony 16 maja 2020, o 14:46 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
-
- Użytkownik
- Posty: 49
- Rejestracja: 7 gru 2016, o 19:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
Re: kule w pudełkach
Co to znaczy, że numeracja jest nieistotna? Nie musimy liczyć tego \(\displaystyle{ 25\cdot 24\cdot 23\cdot 22\cdot 21}\)?
Ostatnio zmieniony 16 maja 2020, o 16:50 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Re: kule w pudełkach
Moim zdaniem numeracja jest istotna.
Wtedy liczba zdarzeń sprzyjających:
a) stosując liczby Stirlinga drugiego rodzaju :
\(\displaystyle{ {7 \choose 5} \cdot {25\brace 5} \cdot 5!}\)
b) stosując zasadę włączeń i wyłączeń :
\(\displaystyle{ {7 \choose 5} \left( 5^{25}- {5 \choose 4}4^{25}+{5 \choose 3}3^{25} -{5 \choose 2}2^{25}+{5 \choose 1}1^{25}\right) }\)
Wtedy liczba zdarzeń sprzyjających:
a) stosując liczby Stirlinga drugiego rodzaju :
\(\displaystyle{ {7 \choose 5} \cdot {25\brace 5} \cdot 5!}\)
b) stosując zasadę włączeń i wyłączeń :
\(\displaystyle{ {7 \choose 5} \left( 5^{25}- {5 \choose 4}4^{25}+{5 \choose 3}3^{25} -{5 \choose 2}2^{25}+{5 \choose 1}1^{25}\right) }\)
Ostatnio zmieniony 17 maja 2020, o 15:21 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: {n\brace m}.
Powód: Poprawa wiadomości: {n\brace m}.
-
- Użytkownik
- Posty: 49
- Rejestracja: 7 gru 2016, o 19:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
Re: kule w pudełkach
Czy mógłbyś wyjaśnić jak otrzymujesz te wyniki?
Szczególnie liczby Stirlinga są dla mnie interesujące, bo nigdy o nich nie słyszałem.
Szczególnie liczby Stirlinga są dla mnie interesujące, bo nigdy o nich nie słyszałem.
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Re: kule w pudełkach
a) :
\(\displaystyle{ {7 \choose 5} }\) to liczba zestawów zajętych ( pięciu) szufladek
\(\displaystyle{ {25\brace 5} }\) to liczba podziałów zbioru 25 elementowego na 5 niepustych i rozłącznych podzbiorów
\(\displaystyle{ 5!}\) przypisanie tym podzbiorom numerów szufladek.
b) :
\(\displaystyle{ {7 \choose 5} }\) to liczba zestawów zajętych ( pięciu) szufladek
\(\displaystyle{ \left( 5^{25}-...\right) }\) liczba rozmieszczeń 25 elementów w 5 szufladkach
\(\displaystyle{ \left( ….- {5 \choose 4}4^{25}+{5 \choose 3}3^{25} -{5 \choose 2}2^{25}+{5 \choose 1}1^{25}\right) }\) pozbycie się tych rozstawień w których elementy zajmują mniej niż 5 szufladek.
\(\displaystyle{ {7 \choose 5} }\) to liczba zestawów zajętych ( pięciu) szufladek
\(\displaystyle{ {25\brace 5} }\) to liczba podziałów zbioru 25 elementowego na 5 niepustych i rozłącznych podzbiorów
\(\displaystyle{ 5!}\) przypisanie tym podzbiorom numerów szufladek.
b) :
\(\displaystyle{ {7 \choose 5} }\) to liczba zestawów zajętych ( pięciu) szufladek
\(\displaystyle{ \left( 5^{25}-...\right) }\) liczba rozmieszczeń 25 elementów w 5 szufladkach
\(\displaystyle{ \left( ….- {5 \choose 4}4^{25}+{5 \choose 3}3^{25} -{5 \choose 2}2^{25}+{5 \choose 1}1^{25}\right) }\) pozbycie się tych rozstawień w których elementy zajmują mniej niż 5 szufladek.
Ostatnio zmieniony 17 maja 2020, o 15:20 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: {n\brace m}.
Powód: Poprawa wiadomości: {n\brace m}.