Niech dowolne \(\displaystyle{ X_{i}}\) ma rozkład \(\displaystyle{ Po(λ_i)}\), oraz zmienne \(\displaystyle{ X_i}\) będą niezależne.
Udowodnić przez indukcję, iż : \(\displaystyle{ Y=X_1+X_2+X_3+...+X_n}\) ma rozkład \(\displaystyle{ Po( \sum_{i=1}^{n} λ_i) }\).
Chciałbym spytać o poprawność swojego dowodu.
\(\displaystyle{ T:Y=X_1+X_2+X_3+...+X_n}\) ma rozkład \(\displaystyle{ Po( \sum_{i=1}^{n} λ_i) }\)
1)W jednym z podpunktów udowodniłem, iż dla pewnego n=2 \(\displaystyle{ Y=X_1+X_2}\) ma rozkład \(\displaystyle{ Po(λ_1+λ_2)}\).(Pomijam pokazywanie, to na pewno mam dobrze)
2)Pokażę, że jeżeli \(\displaystyle{ Y=X_1+...+X_n}\) ma rozkład \(\displaystyle{ Po( \sum_{i=1}^{n} λ_i) }\), to \(\displaystyle{ Y'=X_1+...+X_n+X+_{n+1}}\) ma rozkład \(\displaystyle{ Po( \sum_{i=1}^{n+1} λ_i) }\).
Korzystam z warunku na rozkład Y, otrzymuję: \(\displaystyle{ Y'=Y+X_{n+1}}\). Stąd, wiedząc iż \(\displaystyle{ Y'}\) ma rozkład \(\displaystyle{ Po( \sum_{i=1}^{n} λ_i) }\), oraz \(\displaystyle{ X_{n+1}}\) ma rozkład \(\displaystyle{ Po(λ_i)}\), a także dla pewnych dwóch zmiennych niezależnych o pewnych parametrach \(\displaystyle{ λ_1,λ_2}\) jego rozkład ma parametr \(\displaystyle{ λ_1+λ_2}\) ( zgodnie z 1 warunkiem), to zmienna \(\displaystyle{ Y'}\) ma rozkład \(\displaystyle{ Po( \sum_{i=1}^{n+1} λ_i) }\). A stąd zgodnie z zasadami indukcji twierdzenie jest prawdziwe dla każdego \(\displaystyle{ n \ge 2}\).
