Liczba jajeczek składanych przez owada jest zmienną losową o rozkładzie Poissona o wartości średniej \(\displaystyle{ λ}\) . Z każdego złożonego jajeczka z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ p}\) wylęga się kolejny owad. Zakładając wzajemną niezależność wylęgania się jajeczek znaleźć prawdopodobieństwo, że liczba potomków danego owada wyniesie dokładnie \(\displaystyle{ l}\).
Mam pewien problem, mianowicie jak wyliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ A}\) - złożono \(\displaystyle{ k}\) jaj pod warunkiem, że wykluło się \(\displaystyle{ k}\) jaj?
\(\displaystyle{ P(\text{złożono } k\text{ jaj}|\text{wykluło }k\text{ jaj})= \frac{P(\text{złożono }k\text{ jaj} \cap \text{wykluło }k\text{ jaj})}{P(\text{wykluło }k\text{ jaj})} = \frac{ \frac{λ ^{k}e^{-λ}p^{k} }{k!} }{p^{k}} }\).
Czy dobrze wyznaczyłem to prawdopodobieństwo warunkowe? Bo wydaje mi się, że jest wyznaczone źle, bo to jest prawdopodobieńśtwo tylko złożenia \(\displaystyle{ k}\) jaj, jednak nie wiem jak to poprawić
Wykluwanie się jaj
-
Bozydar12
- Użytkownik
- Posty: 155
- Rejestracja: 5 paź 2019, o 09:46
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 20 razy
- Pomógł: 3 razy
Wykluwanie się jaj
Ostatnio zmieniony 11 maja 2020, o 10:53 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Wykluwanie się jaj
Ja bym powiedział, że prawdopodobieństwo, iż owad będzie miał dokładnie \(\displaystyle{ l}\) potomków pod warunkiem, że złoży \(\displaystyle{ k}\) jajeczek, wyniesie \(\displaystyle{ {k\choose l}p^{l}(1-p)^{k-l}, \ k\ge l}\)
i należy obliczyć taką sumę:
\(\displaystyle{ \sum_{k=l}^{\infty}e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}{k\choose l}p^{l}(1-p)^{k-l}=e^{-\lambda}(\lambda p)^{l}\frac{1}{l!}\sum_{k=l}^{\infty}\frac{\left(\lambda(1-p)\right)^{k-l}}{(k-l)!}\\=e^{-\lambda}(\lambda p)^{l}\frac{1}{l!}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(\lambda(1-p)\right)^{n}}{n!}=e^{-\lambda}(\lambda p)^{l}\frac{1}{l!}e^{\lambda(1-p)}\\=\frac{(\lambda p)^{l}}{l!}e^{-\lambda p}}\)
i należy obliczyć taką sumę:
\(\displaystyle{ \sum_{k=l}^{\infty}e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}{k\choose l}p^{l}(1-p)^{k-l}=e^{-\lambda}(\lambda p)^{l}\frac{1}{l!}\sum_{k=l}^{\infty}\frac{\left(\lambda(1-p)\right)^{k-l}}{(k-l)!}\\=e^{-\lambda}(\lambda p)^{l}\frac{1}{l!}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(\lambda(1-p)\right)^{n}}{n!}=e^{-\lambda}(\lambda p)^{l}\frac{1}{l!}e^{\lambda(1-p)}\\=\frac{(\lambda p)^{l}}{l!}e^{-\lambda p}}\)
-
Bozydar12
- Użytkownik
- Posty: 155
- Rejestracja: 5 paź 2019, o 09:46
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 20 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Wykluwanie się jaj
Właśnie w ten sposób to opisałem poprzednio, napisałem tę sumę, miałem problem z policzeniem (jednak się udało), natomiast dostałem wskazówkę iż
"Trzeba skorzystać z prawdopodobieństwa całkowitego. Rozkładem bezwarunkowym jest liczba złożonych jajeczek, a warunkowym liczba wyklutych na określoną liczbę złożonych". Jednak tutaj wydaje mi się że to co napisałem(oraz co mi napisałeś) jest postaci \(\displaystyle{ P(wykluciaL)=P(wykluciaL|złożeniaL)*P(zlozeniaL)+P(wykluciaL|złożeniaL+1)*P(zlożeniaL+1)+...}\), jednak wtedy wychodzi, iż wskazówka jest zastosowana odwrotnie. Bo robiąc to już 3 raz, dalej sądze, że wskazówka jest błędna - a samo zadanie mam rozwiązane tak samo. Bardzo dziękuje za pomoc.
"Trzeba skorzystać z prawdopodobieństwa całkowitego. Rozkładem bezwarunkowym jest liczba złożonych jajeczek, a warunkowym liczba wyklutych na określoną liczbę złożonych". Jednak tutaj wydaje mi się że to co napisałem(oraz co mi napisałeś) jest postaci \(\displaystyle{ P(wykluciaL)=P(wykluciaL|złożeniaL)*P(zlozeniaL)+P(wykluciaL|złożeniaL+1)*P(zlożeniaL+1)+...}\), jednak wtedy wychodzi, iż wskazówka jest zastosowana odwrotnie. Bo robiąc to już 3 raz, dalej sądze, że wskazówka jest błędna - a samo zadanie mam rozwiązane tak samo. Bardzo dziękuje za pomoc.