Wyznacz gęstość zmiennej losowej (X,Y)
-
- Użytkownik
- Posty: 110
- Rejestracja: 14 kwie 2020, o 20:16
- Płeć: Kobieta
- wiek: 21
- Podziękował: 32 razy
Wyznacz gęstość zmiennej losowej (X,Y)
Witam, mam problem z takim zadaniem:
Dwuwymiarowa zmienna losowa \(\displaystyle{ (X, Y)}\) ma rozkład jednostajny (tzn. gestość jest funkcją stałą) na trójkącie o wierzchołkach
\(\displaystyle{ (1, 1), (1, 3), (5, 1)}\). Wyznaczyc gestosc zmiennej losowej \(\displaystyle{ (X, Y )}\) \(\displaystyle{ D=\{(x,y):1 \le y \le 3 \wedge 1 \le x \le 7-2y \}}\)
I problem wychodzi w całce:
\(\displaystyle{ \int_{1}^{7-2y} \left ( \int_{1}^{3} c \space \dd y \right ) \dd x = \int_{1}^{7-2y} 2c \dd x = 2c[7-2y-1]=12c-4cy }\)
Czy mogę policzyć tutaj taką całkę?
\(\displaystyle{ \int_{1}^{3} \left (\int_{1}^{7-2y} c \dd x \right )\dd y }\)
Dwuwymiarowa zmienna losowa \(\displaystyle{ (X, Y)}\) ma rozkład jednostajny (tzn. gestość jest funkcją stałą) na trójkącie o wierzchołkach
\(\displaystyle{ (1, 1), (1, 3), (5, 1)}\). Wyznaczyc gestosc zmiennej losowej \(\displaystyle{ (X, Y )}\) \(\displaystyle{ D=\{(x,y):1 \le y \le 3 \wedge 1 \le x \le 7-2y \}}\)
I problem wychodzi w całce:
\(\displaystyle{ \int_{1}^{7-2y} \left ( \int_{1}^{3} c \space \dd y \right ) \dd x = \int_{1}^{7-2y} 2c \dd x = 2c[7-2y-1]=12c-4cy }\)
Czy mogę policzyć tutaj taką całkę?
\(\displaystyle{ \int_{1}^{3} \left (\int_{1}^{7-2y} c \dd x \right )\dd y }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Wyznacz gęstość zmiennej losowej (X,Y)
Pierwszy sposób jest niepoprawny. Nie możesz wycałkować po \(\displaystyle{ y}\), jak zmianna \(\displaystyle{ y}\) siedzi jeszcze w granicach zewnętrznej całki. Co z resztą widać po wyniku.
Drugi sposób jest ok.
Ale tak poza tym, używanie całek do policzenia pola trójkąta to wg mnie lekka przesada...
Drugi sposób jest ok.
Ale tak poza tym, używanie całek do policzenia pola trójkąta to wg mnie lekka przesada...
-
- Użytkownik
- Posty: 110
- Rejestracja: 14 kwie 2020, o 20:16
- Płeć: Kobieta
- wiek: 21
- Podziękował: 32 razy
Re: Wyznacz gęstość zmiennej losowej (X,Y)
A jeszcze takie pytanie, mam dwie niezależne zmienne losowe X i Y i ich gęstości i mam wyznaczyć rozkład łączny zmiennej \(\displaystyle{ (X,Y)}\). No to wyznaczę sobie \(\displaystyle{ f(x,y)}\) z warunku na niezależność, ale co zrobić potem?
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Wyznacz gęstość zmiennej losowej (X,Y)
Jeśli zmienne losowe \(\displaystyle{ X,Y}\) są niezależne i mają gestości odpowiednio \(\displaystyle{ f_X, f_Y}\), to rozkład łączny \(\displaystyle{ (X,Y)}\) ma gęstość \(\displaystyle{ f_{(X,Y)}(x,y) = f_X(x)f_Y(y)}\). I tyle, masz rozkład (wyrażony przez gęstość). Nie rozumiem do końca o co pytasz: "co zrobić potem?"
-
- Użytkownik
- Posty: 110
- Rejestracja: 14 kwie 2020, o 20:16
- Płeć: Kobieta
- wiek: 21
- Podziękował: 32 razy
Re: Wyznacz gęstość zmiennej losowej (X,Y)
Aaa w porządku, myślałam, że trzeba coś więcej zrobić. Czyli gdy w takiej samej sytuacji mam podane dystrybuanty dwóch niezależnych zmiennych losowych, to z warunku \(\displaystyle{ F(x,y)=F_1(x) \cdot F_2(y)}\) mam rozkład wyrażony przez dystrybuantę. No w sumie logiczne Dziękuję.
Dodano po 5 godzinach 52 minutach 23 sekundach:
Hmm a czy \(\displaystyle{ f_Y(y)= \begin{cases} \frac{3}{2}- \frac{1}{2}y , \space 1 \le y \le 3 \\ 0 , \space poza \end{cases} }\)
i
\(\displaystyle{ F_Y(y)= \begin{cases} 0, \space x \le 1 \\ \frac{1}{2}(48-24y+y^2) , \space 1<x \le 7-2y \\1, \space x>7-2y \end{cases} }\)
?
Dodano po 5 godzinach 52 minutach 23 sekundach:
Hmm a czy \(\displaystyle{ f_Y(y)= \begin{cases} \frac{3}{2}- \frac{1}{2}y , \space 1 \le y \le 3 \\ 0 , \space poza \end{cases} }\)
i
\(\displaystyle{ F_Y(y)= \begin{cases} 0, \space x \le 1 \\ \frac{1}{2}(48-24y+y^2) , \space 1<x \le 7-2y \\1, \space x>7-2y \end{cases} }\)
?
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Wyznacz gęstość zmiennej losowej (X,Y)
Ok, domyślam się, to teraz chcesz z tej łącznej gęstości znaleźć rozkłady brzegowe.
Gęstość \(\displaystyle{ f_Y(y)}\) jest ok, ale dystrybuanta już nie. Wynik jest dziwny i przede wszystkim: dlaczego tam pojawia się jakiś \(\displaystyle{ x}\)?
Gęstość \(\displaystyle{ f_Y(y)}\) jest ok, ale dystrybuanta już nie. Wynik jest dziwny i przede wszystkim: dlaczego tam pojawia się jakiś \(\displaystyle{ x}\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 110
- Rejestracja: 14 kwie 2020, o 20:16
- Płeć: Kobieta
- wiek: 21
- Podziękował: 32 razy
Re: Wyznacz gęstość zmiennej losowej (X,Y)
Aaa przepraszam, miałam na myśli \(\displaystyle{ F_X(x)}\) .Mea culpa
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Wyznacz gęstość zmiennej losowej (X,Y)
Nawet jeśli to jest \(\displaystyle{ F_X(x)}\) (już sie pogubiłem, które literki to które), to nadal masz dwie zmienne, a gęstość powinna zależeć tutaj od jednej. Pokaż jak liczysz, inaczej ciężko mi sprawdzić.
-
- Użytkownik
- Posty: 110
- Rejestracja: 14 kwie 2020, o 20:16
- Płeć: Kobieta
- wiek: 21
- Podziękował: 32 razy
Re: Wyznacz gęstość zmiennej losowej (X,Y)
\(\displaystyle{ x<1}\)
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{x}0 \dd v =0 }\)
\(\displaystyle{ 1 \le x \le 7-2y}\)
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{1}0 \dd v + \int_{1}^{x} \frac{1}{2} \dd v = \frac{1}{2} x- \frac{1}{2} }\)
\(\displaystyle{ x>7-2y}\)
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{1}0 \dd v + \int_{1}^{7-2y} \frac{1}{2} \dd v + \int_{7-2y}^{x} 0 \dd v =[ \frac{7}{2}-y- \frac{1}{2}]=3-y }\)
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{x}0 \dd v =0 }\)
\(\displaystyle{ 1 \le x \le 7-2y}\)
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{1}0 \dd v + \int_{1}^{x} \frac{1}{2} \dd v = \frac{1}{2} x- \frac{1}{2} }\)
\(\displaystyle{ x>7-2y}\)
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{1}0 \dd v + \int_{1}^{7-2y} \frac{1}{2} \dd v + \int_{7-2y}^{x} 0 \dd v =[ \frac{7}{2}-y- \frac{1}{2}]=3-y }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 110
- Rejestracja: 14 kwie 2020, o 20:16
- Płeć: Kobieta
- wiek: 21
- Podziękował: 32 razy
Re: Wyznacz gęstość zmiennej losowej (X,Y)
Dystrybuantę \(\displaystyle{ F_X(x)}\) ale nie do końca wiem jak to zrobić, więc zrobiłam tak jaki miałam przykład. Całki na kolejnych przedziałach, ale cały mój problem w tym, że nawet nie wiem czy to o to chodzi
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Wyznacz gęstość zmiennej losowej (X,Y)
Ok, to aby znaleźć dystrybuantę, najpierw znajdziemy gęstość \(\displaystyle{ f_X(x)}\). Aby to zrobić, jest po prostu wzór - wystarczy scałkować gęstość łączną po pozostałych zmiennych:
\(\displaystyle{ f_X(x) = \int_{\mathbb{R}} f_{(X,Y)}(x,y)dy}\).
Więc pierwsze pytanie: ile wynosi \(\displaystyle{ f_{(X,Y)}(x,y)}\)? Tzn, jaki wzór wzór gęstości łącznej dla wektora \(\displaystyle{ (X,Y)}\) o rozkładzie na zadanym trójkącie (czyli pierwsza część zadania, bo nie napisałaś wyniku).
\(\displaystyle{ f_X(x) = \int_{\mathbb{R}} f_{(X,Y)}(x,y)dy}\).
Więc pierwsze pytanie: ile wynosi \(\displaystyle{ f_{(X,Y)}(x,y)}\)? Tzn, jaki wzór wzór gęstości łącznej dla wektora \(\displaystyle{ (X,Y)}\) o rozkładzie na zadanym trójkącie (czyli pierwsza część zadania, bo nie napisałaś wyniku).
-
- Użytkownik
- Posty: 110
- Rejestracja: 14 kwie 2020, o 20:16
- Płeć: Kobieta
- wiek: 21
- Podziękował: 32 razy
Re: Wyznacz gęstość zmiennej losowej (X,Y)
\(\displaystyle{ f_{XY}(x,y)= \frac{1}{4} }\) na D i \(\displaystyle{ 0}\) poza nim
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Wyznacz gęstość zmiennej losowej (X,Y)
Dobrze.
To teraz \(\displaystyle{ x}\) jest ustalony i policz tę całkę. Zauważ, że będziesz musiała trochę zmodyfikować warunek na zbiór \(\displaystyle{ D}\).
To teraz \(\displaystyle{ x}\) jest ustalony i policz tę całkę. Zauważ, że będziesz musiała trochę zmodyfikować warunek na zbiór \(\displaystyle{ D}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 110
- Rejestracja: 14 kwie 2020, o 20:16
- Płeć: Kobieta
- wiek: 21
- Podziękował: 32 razy
Re: Wyznacz gęstość zmiennej losowej (X,Y)
\(\displaystyle{ \int_{1}^{3} \frac{1}{4} \dd y= \frac{3}{4} - \frac{1}{4}= \frac{1}{2} }\)
\(\displaystyle{ f_X(x)= \begin{cases} \frac{1}{2} , 1 \le x \le 7-2y \\ 0, poza \end{cases} }\)
?
\(\displaystyle{ f_X(x)= \begin{cases} \frac{1}{2} , 1 \le x \le 7-2y \\ 0, poza \end{cases} }\)
?