Wyznacz gęstość zmiennej losowej (X,Y)

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Roshita
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 110
Rejestracja: 14 kwie 2020, o 20:16
Płeć: Kobieta
wiek: 21
Podziękował: 32 razy

Wyznacz gęstość zmiennej losowej (X,Y)

Post autor: Roshita »

Witam, mam problem z takim zadaniem:
Dwuwymiarowa zmienna losowa \(\displaystyle{ (X, Y)}\) ma rozkład jednostajny (tzn. gestość jest funkcją stałą) na trójkącie o wierzchołkach
\(\displaystyle{ (1, 1), (1, 3), (5, 1)}\). Wyznaczyc gestosc zmiennej losowej \(\displaystyle{ (X, Y )}\) \(\displaystyle{ D=\{(x,y):1 \le y \le 3 \wedge 1 \le x \le 7-2y \}}\)
I problem wychodzi w całce:
\(\displaystyle{ \int_{1}^{7-2y} \left ( \int_{1}^{3} c \space \dd y \right ) \dd x = \int_{1}^{7-2y} 2c \dd x = 2c[7-2y-1]=12c-4cy }\)
Czy mogę policzyć tutaj taką całkę?
\(\displaystyle{ \int_{1}^{3} \left (\int_{1}^{7-2y} c \dd x \right )\dd y }\) :?:
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Wyznacz gęstość zmiennej losowej (X,Y)

Post autor: Tmkk »

Pierwszy sposób jest niepoprawny. Nie możesz wycałkować po \(\displaystyle{ y}\), jak zmianna \(\displaystyle{ y}\) siedzi jeszcze w granicach zewnętrznej całki. Co z resztą widać po wyniku.
Drugi sposób jest ok.

Ale tak poza tym, używanie całek do policzenia pola trójkąta to wg mnie lekka przesada...
Roshita
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 110
Rejestracja: 14 kwie 2020, o 20:16
Płeć: Kobieta
wiek: 21
Podziękował: 32 razy

Re: Wyznacz gęstość zmiennej losowej (X,Y)

Post autor: Roshita »

A jeszcze takie pytanie, mam dwie niezależne zmienne losowe X i Y i ich gęstości i mam wyznaczyć rozkład łączny zmiennej \(\displaystyle{ (X,Y)}\). No to wyznaczę sobie \(\displaystyle{ f(x,y)}\) z warunku na niezależność, ale co zrobić potem?
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Wyznacz gęstość zmiennej losowej (X,Y)

Post autor: Tmkk »

Jeśli zmienne losowe \(\displaystyle{ X,Y}\) są niezależne i mają gestości odpowiednio \(\displaystyle{ f_X, f_Y}\), to rozkład łączny \(\displaystyle{ (X,Y)}\) ma gęstość \(\displaystyle{ f_{(X,Y)}(x,y) = f_X(x)f_Y(y)}\). I tyle, masz rozkład (wyrażony przez gęstość). Nie rozumiem do końca o co pytasz: "co zrobić potem?"
Roshita
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 110
Rejestracja: 14 kwie 2020, o 20:16
Płeć: Kobieta
wiek: 21
Podziękował: 32 razy

Re: Wyznacz gęstość zmiennej losowej (X,Y)

Post autor: Roshita »

Aaa w porządku, myślałam, że trzeba coś więcej zrobić. Czyli gdy w takiej samej sytuacji mam podane dystrybuanty dwóch niezależnych zmiennych losowych, to z warunku \(\displaystyle{ F(x,y)=F_1(x) \cdot F_2(y)}\) mam rozkład wyrażony przez dystrybuantę. No w sumie logiczne :lol: Dziękuję. :wink:

Dodano po 5 godzinach 52 minutach 23 sekundach:
Hmm a czy \(\displaystyle{ f_Y(y)= \begin{cases} \frac{3}{2}- \frac{1}{2}y , \space 1 \le y \le 3 \\ 0 , \space poza \end{cases} }\)
i
\(\displaystyle{ F_Y(y)= \begin{cases} 0, \space x \le 1 \\ \frac{1}{2}(48-24y+y^2) , \space 1<x \le 7-2y \\1, \space x>7-2y \end{cases} }\)
?
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Wyznacz gęstość zmiennej losowej (X,Y)

Post autor: Tmkk »

Ok, domyślam się, to teraz chcesz z tej łącznej gęstości znaleźć rozkłady brzegowe.

Gęstość \(\displaystyle{ f_Y(y)}\) jest ok, ale dystrybuanta już nie. Wynik jest dziwny i przede wszystkim: dlaczego tam pojawia się jakiś \(\displaystyle{ x}\)?
Roshita
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 110
Rejestracja: 14 kwie 2020, o 20:16
Płeć: Kobieta
wiek: 21
Podziękował: 32 razy

Re: Wyznacz gęstość zmiennej losowej (X,Y)

Post autor: Roshita »

Aaa przepraszam, miałam na myśli \(\displaystyle{ F_X(x)}\) .Mea culpa
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Wyznacz gęstość zmiennej losowej (X,Y)

Post autor: Tmkk »

Nawet jeśli to jest \(\displaystyle{ F_X(x)}\) (już sie pogubiłem, które literki to które), to nadal masz dwie zmienne, a gęstość powinna zależeć tutaj od jednej. Pokaż jak liczysz, inaczej ciężko mi sprawdzić.
Roshita
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 110
Rejestracja: 14 kwie 2020, o 20:16
Płeć: Kobieta
wiek: 21
Podziękował: 32 razy

Re: Wyznacz gęstość zmiennej losowej (X,Y)

Post autor: Roshita »

\(\displaystyle{ x<1}\)
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{x}0 \dd v =0 }\)
\(\displaystyle{ 1 \le x \le 7-2y}\)
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{1}0 \dd v + \int_{1}^{x} \frac{1}{2} \dd v = \frac{1}{2} x- \frac{1}{2} }\)
\(\displaystyle{ x>7-2y}\)
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{1}0 \dd v + \int_{1}^{7-2y} \frac{1}{2} \dd v + \int_{7-2y}^{x} 0 \dd v =[ \frac{7}{2}-y- \frac{1}{2}]=3-y }\)
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Wyznacz gęstość zmiennej losowej (X,Y)

Post autor: Tmkk »

A co to jest?

Zacznijmy może od początku. Co dokładnie chcesz policzyć?
Roshita
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 110
Rejestracja: 14 kwie 2020, o 20:16
Płeć: Kobieta
wiek: 21
Podziękował: 32 razy

Re: Wyznacz gęstość zmiennej losowej (X,Y)

Post autor: Roshita »

Dystrybuantę \(\displaystyle{ F_X(x)}\) ale nie do końca wiem jak to zrobić, więc zrobiłam tak jaki miałam przykład. Całki na kolejnych przedziałach, ale cały mój problem w tym, że nawet nie wiem czy to o to chodzi :cry:
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Wyznacz gęstość zmiennej losowej (X,Y)

Post autor: Tmkk »

Ok, to aby znaleźć dystrybuantę, najpierw znajdziemy gęstość \(\displaystyle{ f_X(x)}\). Aby to zrobić, jest po prostu wzór - wystarczy scałkować gęstość łączną po pozostałych zmiennych:

\(\displaystyle{ f_X(x) = \int_{\mathbb{R}} f_{(X,Y)}(x,y)dy}\).

Więc pierwsze pytanie: ile wynosi \(\displaystyle{ f_{(X,Y)}(x,y)}\)? Tzn, jaki wzór wzór gęstości łącznej dla wektora \(\displaystyle{ (X,Y)}\) o rozkładzie na zadanym trójkącie (czyli pierwsza część zadania, bo nie napisałaś wyniku).
Roshita
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 110
Rejestracja: 14 kwie 2020, o 20:16
Płeć: Kobieta
wiek: 21
Podziękował: 32 razy

Re: Wyznacz gęstość zmiennej losowej (X,Y)

Post autor: Roshita »

\(\displaystyle{ f_{XY}(x,y)= \frac{1}{4} }\) na D i \(\displaystyle{ 0}\) poza nim
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Wyznacz gęstość zmiennej losowej (X,Y)

Post autor: Tmkk »

Dobrze.

To teraz \(\displaystyle{ x}\) jest ustalony i policz tę całkę. Zauważ, że będziesz musiała trochę zmodyfikować warunek na zbiór \(\displaystyle{ D}\).
Roshita
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 110
Rejestracja: 14 kwie 2020, o 20:16
Płeć: Kobieta
wiek: 21
Podziękował: 32 razy

Re: Wyznacz gęstość zmiennej losowej (X,Y)

Post autor: Roshita »

\(\displaystyle{ \int_{1}^{3} \frac{1}{4} \dd y= \frac{3}{4} - \frac{1}{4}= \frac{1}{2} }\)
\(\displaystyle{ f_X(x)= \begin{cases} \frac{1}{2} , 1 \le x \le 7-2y \\ 0, poza \end{cases} }\)
?
ODPOWIEDZ