Wyznacz gęstość zmiennej losowej (X,Y)
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Wyznacz gęstość zmiennej losowej (X,Y)
No własnie nie może tak być. Zobacz, że Twoja gęstość niby zależy od \(\displaystyle{ x}\), a w siedzi tam jakiś \(\displaystyle{ y}\). Bardzo podobny problem, jak w pierwszym sposobie, który zaproponowałaś na początku tego tematu.
Narysuj sobie ten zbiór \(\displaystyle{ D}\) i załóżmy na chwilę, że \(\displaystyle{ x = 2}\). Czy wówczas zmienna \(\displaystyle{ y}\), względem której liczysz całkę, ma zakres w przedziale \(\displaystyle{ (1,3)}\)? Czy może jednak trochę mniejszym?
Narysuj sobie ten zbiór \(\displaystyle{ D}\) i załóżmy na chwilę, że \(\displaystyle{ x = 2}\). Czy wówczas zmienna \(\displaystyle{ y}\), względem której liczysz całkę, ma zakres w przedziale \(\displaystyle{ (1,3)}\)? Czy może jednak trochę mniejszym?
-
- Użytkownik
- Posty: 110
- Rejestracja: 14 kwie 2020, o 20:16
- Płeć: Kobieta
- wiek: 21
- Podziękował: 32 razy
Re: Wyznacz gęstość zmiennej losowej (X,Y)
Rozumiem, całkowałam po y, a potem mam \(\displaystyle{ 1 \le x \le 7-2y}\) czyli znów pojawia mi się y, co jest bez sensu. Czy tak? Ale jak w takim razie to zmienić? Chyba, że chodziło o to, że nie powinnam liczyć całki na przedziale \(\displaystyle{ (1,3)}\), bo zaczynam się gubić coraz bardziej
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Wyznacz gęstość zmiennej losowej (X,Y)
Dokładnie tak. No to zacznijmy właśnie od konkretnej wartości. Popatrz sobie na obrazek i powiedz, jeśli \(\displaystyle{ x = 2}\) to po jakim przedziale biega \(\displaystyle{ y}\) (czyli pionowa kreska w trójkącie)? A jeśli \(\displaystyle{ x=\frac{5}{2}}\)? A jeśli \(\displaystyle{ x=3}\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 110
- Rejestracja: 14 kwie 2020, o 20:16
- Płeć: Kobieta
- wiek: 21
- Podziękował: 32 razy
Re: Wyznacz gęstość zmiennej losowej (X,Y)
\(\displaystyle{ x=1, \space y \in [1,3] }\)
\(\displaystyle{ x=2 \space y \in [1, \frac{5}{2} ]}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{5}{2} \in [1,2 \frac{1}{4} ]}\) ?
\(\displaystyle{ x=2 \space y \in [1, \frac{5}{2} ]}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{5}{2} \in [1,2 \frac{1}{4} ]}\) ?
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Wyznacz gęstość zmiennej losowej (X,Y)
Tak, super : ) A jak \(\displaystyle{ x}\) jest dowolny (z przedziału \(\displaystyle{ x \in (1,5)}\) oczywiście)?
-
- Użytkownik
- Posty: 110
- Rejestracja: 14 kwie 2020, o 20:16
- Płeć: Kobieta
- wiek: 21
- Podziękował: 32 razy
Re: Wyznacz gęstość zmiennej losowej (X,Y)
Zdecydowanie coś z \(\displaystyle{ \frac{1}{2} }\), z każdym x o tyle zmniejsza się y ale jak uzależnić jedno od drugiego, to już o tej porze nie wiem
Dodano po 11 godzinach 53 minutach 30 sekundach:
\(\displaystyle{ y \in [1,\frac{7}{2}- \frac{1}{2}x] }\) ?
Dodano po 11 godzinach 53 minutach 30 sekundach:
\(\displaystyle{ y \in [1,\frac{7}{2}- \frac{1}{2}x] }\) ?
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Wyznacz gęstość zmiennej losowej (X,Y)
Dokładnie. To teraz policz tę całkę, aby wyznaczyć gęstość \(\displaystyle{ X}\). Wynik nie będzie już zależał od \(\displaystyle{ y}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 110
- Rejestracja: 14 kwie 2020, o 20:16
- Płeć: Kobieta
- wiek: 21
- Podziękował: 32 razy
Re: Wyznacz gęstość zmiennej losowej (X,Y)
Czyli \(\displaystyle{ \int_{1}^{ \frac{7}{2}- \frac{1}{2}x } \frac{1}{4} \dd y = \frac{1}{4} [\frac{7}{2}- \frac{1}{2}x-1]= \frac{1}{4} [ \frac{5}{2} - \frac{1}{2} x]= \frac{5}{8} - \frac{1}{8} x }\)
\(\displaystyle{ f_X(x)= \begin{cases} \frac{5}{8} - \frac{1}{8} x , \space 1 \le x \le 7-2y \\ 0, \space poza \end{cases} }\)
?
Czy tutaj może być ten y, czy mam przekształcić ten warunek? I czy wtedy dystrybunantę wylicza się tak jak zarobiłam to wyżej
\(\displaystyle{ f_X(x)= \begin{cases} \frac{5}{8} - \frac{1}{8} x , \space 1 \le x \le 7-2y \\ 0, \space poza \end{cases} }\)
?
Czy tutaj może być ten y, czy mam przekształcić ten warunek? I czy wtedy dystrybunantę wylicza się tak jak zarobiłam to wyżej
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Wyznacz gęstość zmiennej losowej (X,Y)
Ok, juz prawie. Wróćmy jeszcze na chwilę do poprzedniej wiadomości. Napisałaś, że \(\displaystyle{ y \in \left[ \frac{7}{2} - \frac{1}{2}x\right]}\), ale dla jakich \(\displaystyle{ x}\)? Bo jeśli napiszesz, że zbiór \(\displaystyle{ D}\) odpisują warunki: \(\displaystyle{ 1 \le y \le \frac{7}{2} - \frac{1}{2}x }\) oraz \(\displaystyle{ 1 \le x \le 7 - 2y}\), to to nie ma zbytnio sensu. Znowu, popatrz sobie na rysunek.
-
- Użytkownik
- Posty: 110
- Rejestracja: 14 kwie 2020, o 20:16
- Płeć: Kobieta
- wiek: 21
- Podziękował: 32 razy
Re: Wyznacz gęstość zmiennej losowej (X,Y)
Dla \(\displaystyle{ x \in [1,5]}\), czyli to powinno się znaleźć powyżej w gęstości? Myślałam o tym, ale sądziłam, że nie mogę tego tak po prostu zrobić...
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Wyznacz gęstość zmiennej losowej (X,Y)
Tak. Zauważ, że to co robimy to już jest tylko całkowanie i ma większy związek z analizą niż rachunkiem prawdopodobieństwa.
Jeśli narysujesz zbiór na płaszczyźnie i całkujesz względem zmiennej \(\displaystyle{ y}\), to jest to całkowanie po pionowych odcinkach - bo tak się zmienia zmienna \(\displaystyle{ y}\), dla ustalonego \(\displaystyle{ x}\). Dlatego trzeba było znaleźć, jakiej postaci są te odcinki. Analogicznie byłoby, gdybyśmy całkowali po \(\displaystyle{ dx}\), tylko wtedy patrzymy na poziome odcinki.
Zobacz też, że oba sposoby dobrze opisują ten sam trójkąt, tzn.
\(\displaystyle{ D = \left\{ (x,y) : 1 \le y \le 3, 1 \le x \le 7 -2y\right\} = \left\{ (x,y) : 1 \le x \le 5, 1 \le y \le \frac{7}{2} - \frac{1}{2}x \right\} }\).
Z tym, że pierwszy opis jest jakby podzieleniem tego trójkąta na poziome odcinki (co pozwala na poprawne wycałkowanie po \(\displaystyle{ dx}\)) - przy ustalonym \(\displaystyle{ y}\), \(\displaystyle{ x}\) zmienia się w zależności od \(\displaystyle{ y}\). A drugi opis jest jakby podzieleniem tego trójkąta na pionowe odcinki (co pozwala na poprawne wycałkowanie po \(\displaystyle{ dy}\)) - przy ustalonym \(\displaystyle{ x}\), \(\displaystyle{ y}\) zmienia się w zależności od \(\displaystyle{ x}\).
No to teraz aby znaleźć dystrybuantę, wystarczy już policzyć
\(\displaystyle{ F_X(t) = \int_{-\infty}^t f_X(x)dx}\).
Jeśli narysujesz zbiór na płaszczyźnie i całkujesz względem zmiennej \(\displaystyle{ y}\), to jest to całkowanie po pionowych odcinkach - bo tak się zmienia zmienna \(\displaystyle{ y}\), dla ustalonego \(\displaystyle{ x}\). Dlatego trzeba było znaleźć, jakiej postaci są te odcinki. Analogicznie byłoby, gdybyśmy całkowali po \(\displaystyle{ dx}\), tylko wtedy patrzymy na poziome odcinki.
Zobacz też, że oba sposoby dobrze opisują ten sam trójkąt, tzn.
\(\displaystyle{ D = \left\{ (x,y) : 1 \le y \le 3, 1 \le x \le 7 -2y\right\} = \left\{ (x,y) : 1 \le x \le 5, 1 \le y \le \frac{7}{2} - \frac{1}{2}x \right\} }\).
Z tym, że pierwszy opis jest jakby podzieleniem tego trójkąta na poziome odcinki (co pozwala na poprawne wycałkowanie po \(\displaystyle{ dx}\)) - przy ustalonym \(\displaystyle{ y}\), \(\displaystyle{ x}\) zmienia się w zależności od \(\displaystyle{ y}\). A drugi opis jest jakby podzieleniem tego trójkąta na pionowe odcinki (co pozwala na poprawne wycałkowanie po \(\displaystyle{ dy}\)) - przy ustalonym \(\displaystyle{ x}\), \(\displaystyle{ y}\) zmienia się w zależności od \(\displaystyle{ x}\).
No to teraz aby znaleźć dystrybuantę, wystarczy już policzyć
\(\displaystyle{ F_X(t) = \int_{-\infty}^t f_X(x)dx}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 110
- Rejestracja: 14 kwie 2020, o 20:16
- Płeć: Kobieta
- wiek: 21
- Podziękował: 32 razy
Re: Wyznacz gęstość zmiennej losowej (X,Y)
Woooow, dziękuję bardzo. Teraz patrząc na to wydaje się to logiczne, ale samemu jakoś ciężko, może nie tyle to zobaczyć co wiedzieć jak to wykorzystać. Jeszcze raz dziękuję, za wytłumaczenie wszystkiego krok po kroku.