Wyznacz gęstość zmiennej losowej (X,Y)

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Wyznacz gęstość zmiennej losowej (X,Y)

Post autor: Tmkk »

No własnie nie może tak być. Zobacz, że Twoja gęstość niby zależy od \(\displaystyle{ x}\), a w siedzi tam jakiś \(\displaystyle{ y}\). Bardzo podobny problem, jak w pierwszym sposobie, który zaproponowałaś na początku tego tematu.

Narysuj sobie ten zbiór \(\displaystyle{ D}\) i załóżmy na chwilę, że \(\displaystyle{ x = 2}\). Czy wówczas zmienna \(\displaystyle{ y}\), względem której liczysz całkę, ma zakres w przedziale \(\displaystyle{ (1,3)}\)? Czy może jednak trochę mniejszym?
Roshita
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 110
Rejestracja: 14 kwie 2020, o 20:16
Płeć: Kobieta
wiek: 21
Podziękował: 32 razy

Re: Wyznacz gęstość zmiennej losowej (X,Y)

Post autor: Roshita »

Rozumiem, całkowałam po y, a potem mam \(\displaystyle{ 1 \le x \le 7-2y}\) czyli znów pojawia mi się y, co jest bez sensu. Czy tak? Ale jak w takim razie to zmienić? Chyba, że chodziło o to, że nie powinnam liczyć całki na przedziale \(\displaystyle{ (1,3)}\), bo zaczynam się gubić coraz bardziej :|
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Wyznacz gęstość zmiennej losowej (X,Y)

Post autor: Tmkk »

Dokładnie tak. No to zacznijmy właśnie od konkretnej wartości. Popatrz sobie na obrazek i powiedz, jeśli \(\displaystyle{ x = 2}\) to po jakim przedziale biega \(\displaystyle{ y}\) (czyli pionowa kreska w trójkącie)? A jeśli \(\displaystyle{ x=\frac{5}{2}}\)? A jeśli \(\displaystyle{ x=3}\)?
Roshita
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 110
Rejestracja: 14 kwie 2020, o 20:16
Płeć: Kobieta
wiek: 21
Podziękował: 32 razy

Re: Wyznacz gęstość zmiennej losowej (X,Y)

Post autor: Roshita »

\(\displaystyle{ x=1, \space y \in [1,3] }\)
\(\displaystyle{ x=2 \space y \in [1, \frac{5}{2} ]}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{5}{2} \in [1,2 \frac{1}{4} ]}\) ?
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Wyznacz gęstość zmiennej losowej (X,Y)

Post autor: Tmkk »

Tak, super : ) A jak \(\displaystyle{ x}\) jest dowolny (z przedziału \(\displaystyle{ x \in (1,5)}\) oczywiście)?
Roshita
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 110
Rejestracja: 14 kwie 2020, o 20:16
Płeć: Kobieta
wiek: 21
Podziękował: 32 razy

Re: Wyznacz gęstość zmiennej losowej (X,Y)

Post autor: Roshita »

Zdecydowanie coś z \(\displaystyle{ \frac{1}{2} }\), z każdym x o tyle zmniejsza się y ale jak uzależnić jedno od drugiego, to już o tej porze nie wiem :wink:

Dodano po 11 godzinach 53 minutach 30 sekundach:
\(\displaystyle{ y \in [1,\frac{7}{2}- \frac{1}{2}x] }\) ?
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Wyznacz gęstość zmiennej losowej (X,Y)

Post autor: Tmkk »

Dokładnie. To teraz policz tę całkę, aby wyznaczyć gęstość \(\displaystyle{ X}\). Wynik nie będzie już zależał od \(\displaystyle{ y}\).
Roshita
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 110
Rejestracja: 14 kwie 2020, o 20:16
Płeć: Kobieta
wiek: 21
Podziękował: 32 razy

Re: Wyznacz gęstość zmiennej losowej (X,Y)

Post autor: Roshita »

Czyli \(\displaystyle{ \int_{1}^{ \frac{7}{2}- \frac{1}{2}x } \frac{1}{4} \dd y = \frac{1}{4} [\frac{7}{2}- \frac{1}{2}x-1]= \frac{1}{4} [ \frac{5}{2} - \frac{1}{2} x]= \frac{5}{8} - \frac{1}{8} x }\)

\(\displaystyle{ f_X(x)= \begin{cases} \frac{5}{8} - \frac{1}{8} x , \space 1 \le x \le 7-2y \\ 0, \space poza \end{cases} }\)
?
Czy tutaj może być ten y, czy mam przekształcić ten warunek? I czy wtedy dystrybunantę wylicza się tak jak zarobiłam to wyżej :?:
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Wyznacz gęstość zmiennej losowej (X,Y)

Post autor: Tmkk »

Ok, juz prawie. Wróćmy jeszcze na chwilę do poprzedniej wiadomości. Napisałaś, że \(\displaystyle{ y \in \left[ \frac{7}{2} - \frac{1}{2}x\right]}\), ale dla jakich \(\displaystyle{ x}\)? Bo jeśli napiszesz, że zbiór \(\displaystyle{ D}\) odpisują warunki: \(\displaystyle{ 1 \le y \le \frac{7}{2} - \frac{1}{2}x }\) oraz \(\displaystyle{ 1 \le x \le 7 - 2y}\), to to nie ma zbytnio sensu. Znowu, popatrz sobie na rysunek.
Roshita
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 110
Rejestracja: 14 kwie 2020, o 20:16
Płeć: Kobieta
wiek: 21
Podziękował: 32 razy

Re: Wyznacz gęstość zmiennej losowej (X,Y)

Post autor: Roshita »

Dla \(\displaystyle{ x \in [1,5]}\), czyli to powinno się znaleźć powyżej w gęstości? Myślałam o tym, ale sądziłam, że nie mogę tego tak po prostu zrobić...
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Wyznacz gęstość zmiennej losowej (X,Y)

Post autor: Tmkk »

Tak. Zauważ, że to co robimy to już jest tylko całkowanie i ma większy związek z analizą niż rachunkiem prawdopodobieństwa.

Jeśli narysujesz zbiór na płaszczyźnie i całkujesz względem zmiennej \(\displaystyle{ y}\), to jest to całkowanie po pionowych odcinkach - bo tak się zmienia zmienna \(\displaystyle{ y}\), dla ustalonego \(\displaystyle{ x}\). Dlatego trzeba było znaleźć, jakiej postaci są te odcinki. Analogicznie byłoby, gdybyśmy całkowali po \(\displaystyle{ dx}\), tylko wtedy patrzymy na poziome odcinki.

Zobacz też, że oba sposoby dobrze opisują ten sam trójkąt, tzn.

\(\displaystyle{ D = \left\{ (x,y) : 1 \le y \le 3, 1 \le x \le 7 -2y\right\} = \left\{ (x,y) : 1 \le x \le 5, 1 \le y \le \frac{7}{2} - \frac{1}{2}x \right\} }\).

Z tym, że pierwszy opis jest jakby podzieleniem tego trójkąta na poziome odcinki (co pozwala na poprawne wycałkowanie po \(\displaystyle{ dx}\)) - przy ustalonym \(\displaystyle{ y}\), \(\displaystyle{ x}\) zmienia się w zależności od \(\displaystyle{ y}\). A drugi opis jest jakby podzieleniem tego trójkąta na pionowe odcinki (co pozwala na poprawne wycałkowanie po \(\displaystyle{ dy}\)) - przy ustalonym \(\displaystyle{ x}\), \(\displaystyle{ y}\) zmienia się w zależności od \(\displaystyle{ x}\).

No to teraz aby znaleźć dystrybuantę, wystarczy już policzyć

\(\displaystyle{ F_X(t) = \int_{-\infty}^t f_X(x)dx}\).
Roshita
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 110
Rejestracja: 14 kwie 2020, o 20:16
Płeć: Kobieta
wiek: 21
Podziękował: 32 razy

Re: Wyznacz gęstość zmiennej losowej (X,Y)

Post autor: Roshita »

Woooow, dziękuję bardzo. Teraz patrząc na to wydaje się to logiczne, ale samemu jakoś ciężko, może nie tyle to zobaczyć co wiedzieć jak to wykorzystać. Jeszcze raz dziękuję, za wytłumaczenie wszystkiego krok po kroku. :wink: :D
ODPOWIEDZ