Rozkład zmiennej minimum

[Bozydar12]

Wykazać, że jeżeli \(\displaystyle{ ξ}\) i \(\displaystyle{ η}\) są niezależnymi zmiennymi losowymi o takim samym rozkładzie geometrycznym, to zmienna losowa \(\displaystyle{ \min\{ξ, η\}}\) ma rozkład geometryczny.

W jaki sposób zabrać się za to zadanie?

[Premislav]

Można od strony dystrybuanty. Wskazówka: jeśli \(\displaystyle{ \xi, \ \eta}\) są niezależne, to
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left(\min\left\{\xi, \eta\right\}\le x\right)=1-\mathbf{P}\left(\min\left\{\xi, \eta\right\}>x\right)=1-\mathbf{P}\left(\xi>x, \eta>x\right)=1-\mathbf{P}(\xi>x)\mathbf{P}(\eta>x)=1-(1-\mathbf{P}(\xi\le x))(1-\mathbf{P}(\eta\le x))}\)

[Bozydar12]

Właśnie dokładnie to teraz zapisałem, uwzględniając, że rozkład obu zmiennych jest ten sam, otrzymuję

\(\displaystyle{ 1-(1-\mathbf{P}(\xi\le x))^2}\), co mógłbym rozbić na dwa czynniki z różnicy kwadratów. Nie widzę jednak co mi to daje w kwestii rozkładu.

[Premislav]

Ogon rozkładu geometrycznego, tj. \(\displaystyle{ \mathbf{P}(\xi>x), \ x\in \NN}\), gdzie zmienna \(\displaystyle{ \xi}\) ma rozklad \(\displaystyle{ \mathrm{Geo}(p)}\), wyraża się zgrabnym wzorkiem.
To będzie coś w temacie \(\displaystyle{ \sum_{n=x+1}^{\infty}(1-p)^{n}p}\), ewentualnie z \(\displaystyle{ n-1}\) zamiast \(\displaystyle{ n}\), w zależności od tego, jak masz zdefiniowany rozkład geometryczny (czy jako liczbę prób do pierwszego sukcesu, czy „czas oczekiwania" na pierwszy sukces)
a to ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego możesz przedstawić w zwartej formie. Tzn. może da się nawet to ominąć, ale ja nie umiem, a tak wychodzi.

[Bozydar12]

Czyli jak rozumiem, powinienem to zapisać jako:
\(\displaystyle{ 1-P(ξ
>n)^2=1- (\sum_{n=x+1}^{ \infty } (1-p)^{n}p)^{2} }\), chyba że można inaczej np:
\(\displaystyle{ 1-P(ξ
>n)^2=(1-P(ξ>n))(1+P(ξ>n))=P(ξ \le n)(1+P(ξ>n)}\). Jednak dalej nie bardzo rozumiem co mi do daje w kwestii zadania.

[Premislav]

Wychodzisz od dystrybuanty rozkładu tego minimum i dążysz do wykazania, że jest ona równa w każdym istotnym punkcie (czyli w przypadku rozkładu geometrycznego każdym \(\displaystyle{ x\in \NN}\)) dystrybuancie pewnej zmiennej losowej o rozkładzie geometrycznym z odpowiednio dobranym parametrem.

[Bozydar12]

Dobra, chyba coś mam.
Zmienną z rozkładem geometrycznym mam określoną jako liczbę zaobserwowanych porażek do 1 sukcesu, więc \(\displaystyle{ P(ξ=n)=(1-p)^{n}p}\), więc
\(\displaystyle{ P(ξ>n)=\sum_{x=n+1}^{ \infty } (1-p)^{x}p = \frac{p(1-p)^{n+1}}{p} = (1-p)^{n+1} }\)
\(\displaystyle{ 1-P(ξ>n)^{2} = 1-(1-p)^{2n+2}}\).
Nie wiem tylko jak przejść teraz do postaci zmiennej z rozkładem geometrycznym

Dodano po 6 minutach 6 sekundach:
Edit: Czy nie powinienem napisać, że jest to dystrybuanta rozkładu geometrycznego, taka, że daje prawdopodobieństwa, że sukces będzie na pozycji 2n+2?