rozkład Poissona wartość oczekiwana

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Dzbanzmatmy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 1 maja 2020, o 16:55
Płeć: Kobieta
wiek: 20

rozkład Poissona wartość oczekiwana

Post autor: Dzbanzmatmy »

Nie wiem jak to rozwiązać, proszę o pomoc.
Dla \(\displaystyle{ X\sim Pois(\lambda)}\) znaleźć \(\displaystyle{ E[X!] =1\cdot2\cdot\dots\cdot X}\) oraz \(\displaystyle{ X<\infty}\). Rozważyć przypadki na różne wartości \(\displaystyle{ \lambda}\).
Ostatnio zmieniony 1 maja 2020, o 17:10 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm . Więcej szacunku dla Poissona.
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: rozkład poissona wartość oczekiwana

Post autor: matmatmm »

Hint: Zmienna \(\displaystyle{ X!}\) jest skupiona na zbiorze \(\displaystyle{ \{n!:n\in\NN\}}\)
Dzbanzmatmy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 1 maja 2020, o 16:55
Płeć: Kobieta
wiek: 20

Re: rozkład Poissona wartość oczekiwana

Post autor: Dzbanzmatmy »

nadal nie rozumiem jak to rozwiązać
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: rozkład Poissona wartość oczekiwana

Post autor: matmatmm »

A znasz jakieś wzory na wartość oczekiwaną zmiennej o rozkładzie dyskretnym? Chyba, że chcesz gotowca :wink: 8-) ?
Dzbanzmatmy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 1 maja 2020, o 16:55
Płeć: Kobieta
wiek: 20

Re: rozkład Poissona wartość oczekiwana

Post autor: Dzbanzmatmy »

Trochę się nad tym zastanawiałam, ale wydaje mi się żę zupełnie źle to robię:
\(\displaystyle{ E\left( x!\right) = \sum_{ i=1 }^{ \infty } x! \cdot \frac{\lambda ^{x!} }{(x!)!} \cdot e^{-x!} }\) i nie wiem co z tym zrobić
Ostatnio zmieniony 2 maja 2020, o 00:13 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: rozkład Poissona wartość oczekiwana

Post autor: matmatmm »

Źle jest. Choćby dlatego, że sumowanie jest po \(\displaystyle{ i}\), a pod sumą są iksy. Jeśli to literówka, to od razu mówię, że wzór jest niepoprawny.

Zacznijmy od tego, że gdy zmienna \(\displaystyle{ Y}\) jest skupiona na zbiorze przeliczalnym \(\displaystyle{ J}\), to

\(\displaystyle{ E[Y]=\sum_{j\in J}j\cdot \PP(Y=j)}\)

Zbiór, na którym zmienna \(\displaystyle{ X!}\) jest skupiona to jak pisałem wcześniej \(\displaystyle{ \{n!:n\in\NN\}}\). Sumę można zamienić więc na

\(\displaystyle{ E[X!]=\sum_{n=1}^{\infty}n!\cdot \PP(X!=n!)}\)

Trzeba uważać z zerem tutaj, a dla \(\displaystyle{ n\neq 0, x\neq 0}\) zachodzi

\(\displaystyle{ x!=n! \iff x=n}\)
ODPOWIEDZ