Mam daną zmienna \(\displaystyle{ X}\) o rozkładzie gamma \(\displaystyle{ \Gamma(40,10)}\)
Jak zabrać się za policzenie kwantyla \(\displaystyle{ x_{95\%}}\)
\(\displaystyle{ x_{95\%}}\) \(\displaystyle{ =}\) \(\displaystyle{ min\{x: P(X > x) \le 5\%\}}\)
Z góry dziękuję za pomoc!
Rozkład gamma, prawdopodobieństwo, kwantyl
-
pilnystudeent
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 28 kwie 2020, o 16:51
- Płeć: Kobieta
- wiek: 21
- Podziękował: 3 razy
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Rozkład gamma, prawdopodobieństwo, kwantyl
\(\displaystyle{ X \sim \Gamma(40, 10) }\)
Funkcja gęstości rozkładu
\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} \frac{10^{40}}{\Gamma(10)}x^{39} e^{-\frac{x}{10}} \ \ \mbox{dla} \ \ x\geq 0 \\ 0 \ \ \mbox{dla} \ \ x< 0 \end{cases} }\)
Funkcja rozkładu - dystrybuanta
\(\displaystyle{ F(x) = \begin{cases} \frac{1}{\Gamma(10)} \gamma \left (10, \ \ 40x\right) \ \ \mbox{dla} \ \ x\geq 0 \\ 0 \ \ \mbox{dla} \ \ x<0 \end{cases}}\)
Kwantyl rzędu \(\displaystyle{ \alpha }\) zmiennej losowej \(\displaystyle{ X }\)
\(\displaystyle{ q_{\alpha}(X) = \inf\{x: \ \ F(x) \geq \alpha \}. }\)
Z tablicy kwantyli rzędu \(\displaystyle{ 0,95}\) rozkładu Gamma lub z programu komputerowego na przykład R
Program R
\(\displaystyle{ q_{0,95} \approx 5,09. }\)
W matematyce finansowej ubezpieczeń rozkład \(\displaystyle{ \Gamma(\alpha, \beta) }\) zastępuje się przesuniętym rozkładem \(\displaystyle{ \Gamma.}\)
Funkcja gęstości rozkładu
\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} \frac{10^{40}}{\Gamma(10)}x^{39} e^{-\frac{x}{10}} \ \ \mbox{dla} \ \ x\geq 0 \\ 0 \ \ \mbox{dla} \ \ x< 0 \end{cases} }\)
Funkcja rozkładu - dystrybuanta
\(\displaystyle{ F(x) = \begin{cases} \frac{1}{\Gamma(10)} \gamma \left (10, \ \ 40x\right) \ \ \mbox{dla} \ \ x\geq 0 \\ 0 \ \ \mbox{dla} \ \ x<0 \end{cases}}\)
Kwantyl rzędu \(\displaystyle{ \alpha }\) zmiennej losowej \(\displaystyle{ X }\)
\(\displaystyle{ q_{\alpha}(X) = \inf\{x: \ \ F(x) \geq \alpha \}. }\)
Z tablicy kwantyli rzędu \(\displaystyle{ 0,95}\) rozkładu Gamma lub z programu komputerowego na przykład R
Program R
Kod: Zaznacz cały
> alpha = 40
> beta = 10
> q = qgamma(0.95, alpha, beta)
> q
[1] 5.093974
W matematyce finansowej ubezpieczeń rozkład \(\displaystyle{ \Gamma(\alpha, \beta) }\) zastępuje się przesuniętym rozkładem \(\displaystyle{ \Gamma.}\)