Rzucamy nieskończenie wiele razy kością do gry.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że szóstka wypadnie dokładnie \(\displaystyle{ 2020 }\) razy?
Nieskończony rzut kością
-
- Użytkownik
- Posty: 155
- Rejestracja: 5 paź 2019, o 09:46
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 20 razy
- Pomógł: 3 razy
Re: Nieskończony rzut kością
A weźmy w drugą stronę: Załóżmy, że szansa na wyrzucenie dowolnej liczby szóstek jest niezerowa. Skoro liczba wyrzuconych szóstek może być dowolna z przedziału \(\displaystyle{ [0, \infty ]}\), to prawdopodobieństwo dowolnego wyniku wynosi \(\displaystyle{ \lim_{ x \to \infty } \frac{1}{x} = 0 }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Nieskończony rzut kością
Ciężko buduje się przestrzeń probabilistyczną dla nieskończonego ciągu powtórzeń.
Tutaj chyba najnaturalniejszy będzie taki model: Interpretujemy ciąg wyników jako zapis liczby z przedziału `(0,1)` w zapisie szóstkowym (przy czy w przypadku wypadnięcia szóstki zapisujemy `0`). I teraz użyję dużego kalibru:
Dla każdego `k\in\{0,1,...,5\}` oznaczmy przez `A_k(n)` ilość wystąpień cyfry `k` wśród pierwszych `n` cyfr po przecinku.
Liczbę nazywamy normalną, jeżeli w jej zapisie szóstkowym dla każdego `k\in\{0,1,...,5\}` zachodzi
Okazuje się, że zbiór liczb, które nie są normalne ma miarę Lebesgue'a równą zero.
Próby, o których mówi zadania odpowiadają podzbiorowi liczb, dla których \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{A_0(n)}{n}=0}\) a zatem są podzbiorem zbioru miary zero.
Pewnie można to zrobić bawiąc się epsilonami i oczacowaniami dla ogonów tych ciągów, ale mi się nie chce.
Tutaj chyba najnaturalniejszy będzie taki model: Interpretujemy ciąg wyników jako zapis liczby z przedziału `(0,1)` w zapisie szóstkowym (przy czy w przypadku wypadnięcia szóstki zapisujemy `0`). I teraz użyję dużego kalibru:
Dla każdego `k\in\{0,1,...,5\}` oznaczmy przez `A_k(n)` ilość wystąpień cyfry `k` wśród pierwszych `n` cyfr po przecinku.
Liczbę nazywamy normalną, jeżeli w jej zapisie szóstkowym dla każdego `k\in\{0,1,...,5\}` zachodzi
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{A_k(n)}{n}=\frac{1}{6}}\)
.Okazuje się, że zbiór liczb, które nie są normalne ma miarę Lebesgue'a równą zero.
Próby, o których mówi zadania odpowiadają podzbiorowi liczb, dla których \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{A_0(n)}{n}=0}\) a zatem są podzbiorem zbioru miary zero.
Pewnie można to zrobić bawiąc się epsilonami i oczacowaniami dla ogonów tych ciągów, ale mi się nie chce.
- Gosda
- Użytkownik
- Posty: 340
- Rejestracja: 29 cze 2019, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Oulu
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 60 razy
Re: Nieskończony rzut kością
Drugi lemat Borela-Cantellego: jeśli zdarzenia są niezależne, a szereg ich prawdopodonieństw jest rozbieżny, to nieskończenie wiele z nich zajdzie z prawdopodonieństwem 1.