Nieskończony rzut kością

[Iza8723]

Rzucamy nieskończenie wiele razy kością do gry.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że szóstka wypadnie dokładnie \(\displaystyle{ 2020 }\) razy?

[a4karo]

0

[Iza8723]

0

Dlaczego wynik wynosi 0 ?

[Bozydar12]

A weźmy w drugą stronę: Załóżmy, że szansa na wyrzucenie dowolnej liczby szóstek jest niezerowa. Skoro liczba wyrzuconych szóstek może być dowolna z przedziału \(\displaystyle{ [0, \infty ]}\), to prawdopodobieństwo dowolnego wyniku wynosi \(\displaystyle{ \lim_{ x \to \infty } \frac{1}{x} = 0 }\)

[a4karo]

Ciężko buduje się przestrzeń probabilistyczną dla nieskończonego ciągu powtórzeń.
Tutaj chyba najnaturalniejszy będzie taki model: Interpretujemy ciąg wyników jako zapis liczby z przedziału `(0,1)` w zapisie szóstkowym (przy czy w przypadku wypadnięcia szóstki zapisujemy `0`). I teraz użyję dużego kalibru:


Dla każdego `k\in\{0,1,...,5\}` oznaczmy przez `A_k(n)` ilość wystąpień cyfry `k` wśród pierwszych `n` cyfr po przecinku.
Liczbę nazywamy normalną, jeżeli w jej zapisie szóstkowym dla każdego `k\in\{0,1,...,5\}` zachodzi

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{A_k(n)}{n}=\frac{1}{6}}\)

.

Okazuje się, że zbiór liczb, które nie są normalne ma miarę Lebesgue'a równą zero.
Próby, o których mówi zadania odpowiadają podzbiorowi liczb, dla których \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{A_0(n)}{n}=0}\) a zatem są podzbiorem zbioru miary zero.


Pewnie można to zrobić bawiąc się epsilonami i oczacowaniami dla ogonów tych ciągów, ale mi się nie chce.

[Gosda]

Drugi lemat Borela-Cantellego: jeśli zdarzenia są niezależne, a szereg ich prawdopodonieństw jest rozbieżny, to nieskończenie wiele z nich zajdzie z prawdopodonieństwem 1.