Prawdopodobieństwo klasyczne oraz warunkowe

[Movie]

Proszę o sprawdzenie poprawności wyników i pomoc z ostatnim podpunktem prawdopodobieństwa warunkowego.

Zadanie 1
Rzucono 2 kostkami - czerwoną i niebieską. Obliczyć prawdopodobieństwo:
A - l. oczek na czerwonej kości jest mniejsza niż \(\displaystyle{ 4}\) - \(\displaystyle{ P(A) = \frac12}\)
B - l. oczek na niebieskiej kostce jest większa niż \(\displaystyle{ 5}\) - \(\displaystyle{ P(B) = \frac16}\)
C - suma oczek na obu wynosi co najmniej \(\displaystyle{ 8}\) - \(\displaystyle{ P(C) = \frac{5}{12}}\)

Znajdź również prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ C'}\) oraz iloczynu zdarzeń \(\displaystyle{ A∩C}\).
\(\displaystyle{ P(C') = \frac{7}{12}\\
P(A∩C) = \frac{1}{12}}\)

Czy zdarz. \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\) nie są niezależne? - \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\) - nie są niezależne
Czy zdarz. \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) nie są niezależne? - \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) - są zależne

Zadanie 2
Przedsiębiorstwo dokonuje zakupu elementów z trzech hurtowni: A, B, C. Poniżej przedstawiono ile sztuk jest dobrych (D), a ile wadliwych (W).

A - D:48, W:2
B - D:16, W:4
C - D:28, W:2

Oblicz prawdopodobieństwo:
a) element był zakupiony w hurtowni A i jest wadliwy - \(\displaystyle{ P(A) = \frac{1}{100}}\)
b) losowo wybrany element jest wadliwy - \(\displaystyle{ P(B) = \frac{2}{125}}\)
c) losowo wybrany element jest z hurtowni B - \(\displaystyle{ P(C) = \frac15}\)
d) losowo wybrany element jest z hurtowni C jeśli wylosowany element okazał się wadliwy


Niestety nie wiem jak rozróżnić zdarzenia do prawdopodobieństwa warunkowego w podpunkcie d)

Z góry dziękuję za pomoc.

[janusz47]

Zadanie 2

a)
Ze wzoru na iloczyn dwóch zdarzeń

\(\displaystyle{ P(A\cap W) = P(A)P(W|A), }\)

\(\displaystyle{ P(A\cap W) = \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{50} = \frac{2}{150} = \frac{1}{75}. }\)

b)
Z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym (zupełnym)

\(\displaystyle{ P(W) = P(A)\cdot P(W|A) + P(B)\cdot P(W|B) + P(C)\cdot P(W|C),}\)

\(\displaystyle{ P(W) = \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{50} + \frac{1}{3}\cdot \frac{4}{20}+ \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{30}= \frac{1}{75} + \frac{1}{15} +\frac{1}{45} = \frac{23}{225}. }\)

c)

\(\displaystyle{ P(B) = \frac{1}{3}\cdot \frac{16}{20}+ \frac{1}{3}\cdot \frac{4}{20} = \frac{1}{3}.}\)

d)
Ze wzoru Thomasa Bayesa na prawdopodobieństwo "apriori - aposteriori"

\(\displaystyle{ P(C|W) = \frac{P(C \cap W)}{P(W)} = \frac{P(C)P(W|C)}{ P(A)\cdot P(W|A) + P(B)\cdot P(W|B) + P(C)\cdot P(W|C)},}\)

\(\displaystyle{ P(C|W) = \frac{\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{30}}{\frac{23}{225}} = \frac{5}{23}. }\)

Proszę podać interpretację otrzymanych wartości prawdopodobieństw.