Udowodnić: \(\displaystyle{ \frac{d^{2}}{ \dd μ^{2} }F_{μ,σ^{2}}(t)= \frac{1}{σ^{2}}(t-μ)φ( \frac{t-μ}{σ}) }\), gdzie F - dystrybuanta rozkładu normalnego o parametrach \(\displaystyle{ (μ,σ^{2})}\), a φ - funkcja gęstości rozkładu standardowego N(0,1).
Zacząłem to rozwiązywać : \(\displaystyle{ \frac{d^{2}}{ \dd μ^{2} }F_{μ,σ^{2}}(t)= \frac{d^{2}}{ \dd μ^{2} } \int_{- \infty }^{t} \frac{1}{σ \sqrt{2 \pi } } \cdot e^{ \frac{-(x-μ)^{2}}{2σ^2} } = \frac{d}{dμ} (\frac{-1}{σ \sqrt{2 \pi } } \cdot e^{ \frac{-(t-μ)^{2}}{2σ^{2}} } ) = \frac{-1}{ σ^{3}\sqrt{2 \pi } } \cdot e^{ \frac{-(t-μ)^{2}}{2σ^{2}} } \cdot (t-μ) }\).
Natomiast prawa strona równości wychodzi mi: \(\displaystyle{ (t-μ) \frac{1}{σ^{2}} \cdot \frac{1}{ \sqrt{2 \pi } } \cdot e^{ \frac{-(t-μ)^{2}}{2σ^{2}} } }\), co nie równa się prawej. Gdzie popełniłem błędy? Bo wydaje mi się, że rozwiązanie jest dobre, stąd być może sama teza jest fałszywa.
Dodano po 22 godzinach 12 minutach 44 sekundach:
Edit. Okazuje się, że jest błąd w tezie zadania. Przekształcenie lewej strony jest prawdziwe.