Dowód - rozkład normalny.

[Bozydar12]

Udowodnić, że zachodzi \(\displaystyle{ \frac{d}{\dd μ} F_{μ,σ^{2}}(t)=- \frac{1}{σ}φ( \frac{t-μ}{σ})}\), gdzie \(\displaystyle{ φ}\) jest funkcją gęstości, a \(\displaystyle{ F}\) dystrybuantą rozkładu normalnego
Zacząłem zapisując dystrybuantę jako: \(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{t} \frac{1}{σ \cdot \sqrt{2 \pi} }e ^{ \frac{-(x-μ) ^{2} }{2σ^{2}} } \dd x }\), zróżniczkowałem po \(\displaystyle{ \frac{d}{\dd μ}}\) to co jest pod całką, a następnie policzyłem z tego całkę po dx, wychodzi \(\displaystyle{ -\frac{1}{σ \cdot \sqrt{2 \pi} }e ^{ \frac{-(x-μ) ^{2} }{2σ^{2}} } }\). Jeżeli obliczyłem to poprawnie, co zrobić dalej? A jeżeli nie, co powinienem zrobić?

[Premislav]

Rozumiem, że \(\displaystyle{ \varphi}\) jest funkcją gęstości standardowego rozkładu normalnego, tj. \(\displaystyle{ \mathcal{N}(0,1)}\) Bo jeśli nie, to teza jest fałszywa.
Twoje obliczenia są natomiast jak najbardziej OK. Jak już to masz, to wystarczy napisać sobie funkcję gęstości dla standardowego rozkładu normalnego i zobaczyć, jak się zmieni, gdy wstawisz \(\displaystyle{ t:=\frac{t-\mu}{\sigma}}\), dostaniesz to, co Ci wyszło z tej całki z dokładnością do tego czynnika \(\displaystyle{ -\frac{1}{\sigma}}\).

[Bozydar12]

Ahh, faktycznie gdyby ten warunek był zapisany to wszystko by było jasne. Dzięki wielkie :>
Czyli żeby się upewnić: \(\displaystyle{ φ( \frac{x-μ}{σ}) = \frac{1}{ \sqrt{2 \pi } } \cdot e^{ \frac{-t ^{2} }{2} } }\), gdzie \(\displaystyle{ t = \frac{x-μ}{σ}.}\)
Dobrze?

Dodano po 54 minutach 48 sekundach:
Pytanie dodatkowe: Mam sprawdzić, że \(\displaystyle{ \frac{d^{2}}{\dd μ^{2}}F_{μ,σ^{2}}(t) = \frac{1}{σ^{2}}(t-μ)φ( \frac{t-μ}{σ}) }\).
Wyliczyłem pochodną obliczonego wyżej wyrażenia: \(\displaystyle{ -\dfrac{\left(x-{\mu}\right)\mathrm{e}^{-\frac{\left(x-{\mu}\right)^2}{2{\sigma}^2}}}{\sqrt{2}\sqrt{{\pi}}{\sigma}^3}}\). Jednak nie pasuje to do rozwiązania. Jakieś wskazówki?