Winda, podwójny układ hamowania awaryjnego. Pr. warunkowe.

[Zaratustra]

Ciągle mam problemy z identyfikowaniem, kiedy mam do czynienia z prawdp. warunkowym :C Np.:

Założenia:
Winda wyposażona jest w dwa układy hamowania włączające się automatycznie w razie zerwania się liny. Dla każdego z osobna układu hamowania prawdp. wyhamowania windy wynosi \(\displaystyle{ 0,99}\).
Prawdopodobieństwo zerwania się liny wynosi \(\displaystyle{ 10^{-5}}\).
Zadanie:
Jakie jest prawdopodobieństwo spadnięcia kabiny w razie zerwania się liny?

Tzn. liczymy szanse wyhamowania pod warunkiem, że lina się zerwie...

Ciężko mi ściśle przestrz. prob. podać a na dodatek nawet prowadzący na ćwiczeniach (a teraz w wysyłanych materiałach) takie zadania robi bez jawn. podawania przestrzeni tylko tak na oko określa słownie zdarzenia, prawdopodobieństwa i czary-mary właściwy wzór, Bayes, pr. całkowite, itd.

No to próbuję tak opisać sytuację:
\(\displaystyle{ A=\{\text{Układ pierwszy wyh. spadającą windę}\}}\)
\(\displaystyle{ B=\{\text{Układ drugi wyh. spadającą windę}\}}\)
\(\displaystyle{ H=\{\text{Lina zerwie się}\}}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(A'\cap B'|H)}\) - szukane prawdopodobieństwo (???)

Ja bym liczył tak: \(\displaystyle{ \mathbb{P}(A'\cap B'|H)=\frac{\mathbb{P}(A'\cap B'\cap H)}{\mathbb{P}(H)}}\)
Zdarzenia \(\displaystyle{ A'}\) i \(\displaystyle{ B'}\) są niezależne ale co z \(\displaystyle{ \mathbb{P}(H)}\) Hamulce włączają się tylko gdy lina się zerwie, to \(\displaystyle{ A',B',A,B\subseteq H}\) - tu by właśnie było super wiedzieć jak wygląda „\(\displaystyle{ \Omega}\)”
Gdyby takie zawieranie się zachodziło jak napisałem, to
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(A'\cap B'|H)=\frac{\mathbb{P}(A'\cap B')}{\mathbb{P}(H)}=\frac{\mathbb{P}(A')\mathbb{P}(B')}{\mathbb{P}(H)}}\)
Rozwiązanie z książki wygląda tak: \(\displaystyle{ 0,01\cdot 0,01\cdot 10^{-5}=...}\) coś-tam.
Czyli tak jakby liczone było \(\displaystyle{ \mathbb{P}(A')\cdot\mathbb{P}(B')\cdot\mathbb{P}(H)}\).
Czyyyli... liczą \(\displaystyle{ \mathbb{P}(A'\cap B'\cap H)}\) a nie \(\displaystyle{ \mathbb{P}(A'\cap B'|H)}\) a do tego wszystkie zdarzenia są niezależne? Czy skąd się to wzięło?
Poda ktoś poprawną interpretację do tego zadania? Jak z tej treści wyczytać czy mam do czynienia z pr. warunkowym czy tylko koniunkcją pewnych zdarzeń?

[atanasis]

Z tego co ja rozumie - zdarzenia zależne to takie które zmieniają wartość swojego prawdopodobieństwa. Innymi słowy: Masz zdarzenie A które może ale nie musi wystąpić i zdarzenie B. Jeśli zdarzenie A wystąpi to zdarzenie B będzie miało inna wartość niż gdyby to zdarzenie nie wystąpiło. Przykład: człowiek wypadł za burtę na morzu i po jakimś czasu ratownicy go szukają w okolicy gdzie wypadł. Ten człowiek może tam być, ale może go tez nie być (utonął lub zdryfowała). Szukając go można go tez nie znaleźć bo po prostu go nie zauważa. Masz wiec zdarzenie A - jest lub go nie ma, i zdarzenie B - znajda go lub nie. Jeśli go tam nie ma to znalezienie go ma prawdopodobieństwo 0. Jeśli jest to pradopodobienstwo znalezienia go jest niezerowe. I to są zdarzenia zależne.
W Twoim przyladzie - winda spada tylko kiedy zerwie się lina, ale zalozmy ze spada z innego powodu (np nigdy tej liny nie było) - prawdopodobieństwo zadziałania hamulców będzie takie samo niezależnie od tego z jakiego powodu winda spada. Tak wiec Ty liczysz sumę prawdopodobieństwa zdarzeń niezależnych. Inaczej by było gdyby rozpatrywać np wygięcie prowadnic i wiedziałbyś ze przy wygiętych prowadnicach szansa zahamowania wynosi 0.

[Zaratustra]

W Twoim przyladzie - winda spada tylko kiedy zerwie się lina, ale zalozmy ze spada z innego powodu (np nigdy tej liny nie było) - prawdopodobieństwo zadziałania hamulców będzie takie samo niezależnie od tego z jakiego powodu winda spada. Tak wiec Ty liczysz sumę prawdopodobieństwa zdarzeń niezależnych. Inaczej by było gdyby rozpatrywać np wygięcie prowadnic i wiedziałbyś ze przy wygiętych prowadnicach szansa zahamowania wynosi 0.

Sumę a nie iloczyn?
No i właśnie wydaje mi się, że przy tak sformułowanej treści nie mamy rozważać „spadania” kabiny z innego powodu a tak jakby odpowiedź sugerowała coś przeciwnego.
Mój problem:
- pytanie jest o prawdopodobieństwo spadnięcia kabiny w razie zerwania się liny
a odpowiedź książkowa wygląda mi na odpowiedź na pytanie
- jakie jest o prawdopodobieństwo, że lina się zerwie i do tego nie zadziałają obydwa układy hamowania.

Gdzie jest błąd w moim rozumowaniu

[kruszewski]

Prawdopodobieństwo zerwania się liny jest jak \(\displaystyle{ 1 : 100000}\) co oznacza 1 porażkę na 100000 jazd windą.
Prawdopodobieństwo niezadziałania urządzenia chwytającego kabinę swobodnie spadającą jest jak \(\displaystyle{ 1 : 99}\), a to oznacza, że w co setnym przypadku swobodnego spadania kabiny ono nie zadziała.
Czyli: swobodny spadek kabiny na dno szybu może zajść w co setnym przypadku zerwania się liny, a ten może zajść w co stutysięcznej jeżzie windą, czyli "nieuchwycenie" kabiny może zajść w co \(\displaystyle{ 100000 \cdot 100 }\)jeździe windą.
Drugie urządzenie chwytające kabinę zadziała 99 razy na sto pod warunkiem nie zadziałania pierwszego. czyli upuści kabinę raz na 100 niezadziałań pierwszego urządzenia ( bo tylko wtedy ono zadziała jak pierwsze nie zadziałało) czyli prawdopodobieństwo niezchwytania kabiny przez oba urządzenia jest jak 1:(100 \cdot 100) swobodnych spadków kabiny a te zachodzą raz na 100000 jazdy windą.
Stąd prawdopodobieństwo upadku kabiny na dno szybu jest równe \(\displaystyle{ \left( (1: 100000) \cdot( 1: 100 ) \cdot( 1:100) \right) }\)
Niech U - oznacza upadek kabiny na dno szybu.
\(\displaystyle{ H}\) - oznacza swobodny spadek kabiny po zerwaniu liny.
\(\displaystyle{ A}\) - oznacza niezadziałanie chwytaka pierwszego.
\(\displaystyle{ C}\) - oznacza swobodny spadek kabiny po niezadziałaniu pierwszego chywtaka.
\(\displaystyle{ B}\)- oznacza niezadziałanie chwytaka drugiego.
Wtedy:
\(\displaystyle{ P(C) = P ( A|H) \cdot P(H)}\)
\(\displaystyle{ P(U) = P (B|C) \cdot P(C)}\)

[Zaratustra]

\(\displaystyle{ \textbf{P}(U)=\textbf{P}(B|H\cap A)\cdot\textbf{P}(A|H)\cdot\textbf{P}(H)=0,01\cdot 0,01\cdot 10^{-5}}\)
Okej, dzięki, łapię ^^