Witam,
W pewnej grze internetowej mamy do czynienia z tzw. negocjacjami. Polega to na tym, że w grze mamy pięciu emisariuszy z których każdy domaga się pewnego surowca. Zadaniem gracza jest odgadnąć w trzech próbach jakiego surowca życzy sobie dany emisariusz. W różnych grach mamy różną ilość surowców do wyboru, ale rozważam przykład 5ciu surowców.
Prawdopodobieństwo trafienia w gusta wszystkich emisariuszy za pierwszym podejściem wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{5^5}}\). Prawdopodobieństwo trafienia 4ch na 5ciu wynosi \(\displaystyle{ \frac{4^1 \cdot {5 \choose 1}}{5^5}}\), 3ch na 5ciu to \(\displaystyle{ \frac{4^2 \cdot {5 \choose 2} }{ 5^5 }}\), 2ch na 5ciu to \(\displaystyle{ \frac{4^3 \cdot {5 \choose 3} }{ 5^5 }}\), 1go na 5ciu to \(\displaystyle{ \frac{4^4 \cdot {5 \choose 4} }{ 5^5 }}\), a nie trafienia żadnego to \(\displaystyle{ \frac{ 4^5 \cdot {5 \choose 5} }{ 5^5 }}\). Póki co wszystko proste.
Tutaj pojawiają się jednak pewne schody. Otóż każdy emisariusz, który nie otrzymał surowca którego oczekuje wskazuje, czy ten który otrzymał jest pożądany przez któregoś z pozostałych niezaspokojonych emisariuszy. Tak więc po podaniu naszego strzału każdy z surowców może zostać oznaczony jako "zielony" (jeśli trafiliśmy), "żółty" (jeśli nie trafiliśmy w tego, ale któryś z pozostałych niezaspokojonych chce tego surowca) oraz "czerwony" (jeśli nie trafiliśmy i nikt już nie chce tego surowca).
Wiadomo, że przy trafieniu 5na5 wszystkie surowce będą zielone, a przy 4 na 5 ten jeden nietrafiony będzie czerwony. Interesuje mnie jednak obliczenie prawdopodobieństwa każdej z kombinacji czerwonych i żółtych surowców przy 3 na 5, 2 na 5, 1 na 5 i 0 na 5. Dla przykładu przy 2ch na 5 mamy kombinacje: (3x czerwony, 2x czerwony i 1x żółty, 1x czerwony i 2x żółty, 3x żółty).
Zastanawiam się, czy należałoby tutaj użyć sumy prawdopodobieństwa, albo prawdopodobieństwa warunkowego?
Myślałem w ten sposób: zakładając, że mamy 3ch na 5ciu trafionych i rozważamy pozostałą parę. Wszystkich kombinacji tej pary mamy 25. Mamy jedną parę w której oba są żółte. Co do sytuacji 1żółty 1czerwony: Żeby pierwszy był żółty bierzemy pod uwagę wszystkie pary z wylosowanym surowcem na drugiej pozycji - będzie ich oczywiście 5. Odejmujemy od tego 1 - bo to kombinacja w której na obu pozycjach jest ten sam surowiec, a to by oznaczało, ze oba są zielone. Zostaje 4. Mnożymy to \(\displaystyle{ \cdot 2}\), ponieważ tak samo rozpatrujemy zółty na drugiej pozycji. Wychodzi 8. Od tego odejmujemy 1, bo to para w której oba są żółte, i zostaje nam 7. Co do czerwonych - od 25 odejmujemy 1 (żż), 7 (żc/cż) i 9 (przynajmniej 1 zielony) = 9. Żeby teraz obliczyć prawdopodobieństwo tego scenariusza należałoby pomnożyć to przez ilość kombinacji ułożenia tej pary wśród wszystkich emisariuszy, czyli 10, i podzielić przez [ltaex]5^5[/latex].
Powiedzcie mi proszę - czy dobrze rozumuje? Jeśli tak, to jak uogólnić tę zasadę, żeby nie zaszlachtować się rozpisując wszystkich kombinacji na dla 1 z 5 i 0 z 5? A jeśli źle rozumuję - czy mogę prosić o naprostowanie?