Rozkład Poissona

[Bozydar12]

Jabłko upada od jabłoni w odległości, która jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym \(\displaystyle{ E(2)}\) (pomijamy średnicę pnia i średnicę jabłka). Jabłko może spadać w każdym kierunku z tym samym prawdopodobieństwem. Jaka jest wartość oczekiwana odległości dwóch jabłek, które spadły niezależnie pod warunkiem, że obydwa upadły w tej samej odległości od jabłoni?
Dałem radę wyliczyć, iż jeżeli przyjmę za \(\displaystyle{ X}\) - odleglosc spadku jabłka od drzewa, to: \(\displaystyle{ f_X(x) = 2e^{-2x}}\).
Jeżeli zakładam, że spadły w tym samym miejscu, to upadają one na okręgu, o pewnym promieniu \(\displaystyle{ r}\). Nie wiem jednak, jak wyliczyć prawdopodobieństwo, proszę o pomoc.
Edit. Oczywiście w zadaniu nie rozkład Poissona, a wykładniczy, mój błąd.

Dodano po 26 minutach 17 sekundach:
Spróbowałem rozwiązać, wydaje mi się, że może to mieć sens:
Najbardziej prawdopodobne jest to, iż jabłka spadną w odległości \(\displaystyle{ EX= \frac{1}{2} }\), stąd powinienem rozpatrzyć najbardziej prawdopodobną odległość, dla punktów na okręgu o promieniu \(\displaystyle{ \frac{1}{2} }\), stąd mam, iż przyjmując współrzędne biegunowe, oraz korzystając z twierdzenia cosinusów, oraz zaczepiając punkt \(\displaystyle{ P_1=\left( \frac{1}{2} ,0\right)}\), oraz \(\displaystyle{ P_2=\left( \frac{1}{2}, \alpha\right)}\), otrzymuję \(\displaystyle{ d(P_1,P_2)= \sqrt{ \frac{1-\cos \alpha }{2} } = \sin \frac{ \alpha }{2} }\). Więc liczę \(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{ \pi - 0} \int_{0}^{ \pi } \sin\frac{ \alpha }{2}d \alpha }\), co ostatecznie daje wynik \(\displaystyle{ \frac{2}{ \pi } }\). Czy jest to dobre rozwiązanie?