Wyznaczyć gęstość i dystrybuantę zmiennej losowej Y

[Roshita]

Zmienna losowa X ma gęstość
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} \frac{1}{8}x,\space x \in [0,4] \\ 0,\space poza \end{cases} }\)
Wyznaczyć gęstość i dystrybuantę zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y=X^2}\).
Wyznaczyłam dystrybuantę zmiennej X
\(\displaystyle{ F_X(x)= \begin{cases} 0 ,\space x<0 \\ \frac{x^2}{16},\space x \in [0,4] \\1 ,\space x>4 \end{cases} }\)
Oraz
\(\displaystyle{ F_Y(y)=P[Y<y]=P[X^2<y]=P[X<| \sqrt{y}|]=F(| \sqrt{y}|) }\)
I tutaj mnie przyblokowało, gdy chciałam zapisać dystrybuantę zmiennej Y. Co się dzieje, gdy \(\displaystyle{ y<0 \space i \space y>4}\)?
Dla \(\displaystyle{ x \in [0,4]\space mam\space F_Y(y)= \frac{y}{16} }\)

[Premislav]

Dla \(\displaystyle{ x \in [0,4]\space mam\space F_Y(y)= \frac{y}{16} }\)

No tak, ale na tym się nie urywa ten przedział, w którym zachodzi przedstawiona przez Ciebie równość.
\(\displaystyle{ F_{Y}(y)=\mathbf{P}\left(Y\le y\right)=\mathbf{P}\left(X^{2}\le y\right)=\begin{cases}0 &\text{ gdy } y<0\\ \mathbf{P}\left(X\le \sqrt{y}\right) &\text{ gdy } y\ge 0\end{cases}\\=\begin{cases}0 &\text{ gdy } y<0\\\int_{0}^{\sqrt{y}}\frac{1}{8}x\mbox{d}x &\text{ gdy } y\in[0,16)\\1&\text{ gdy } y\ge 16\end{cases}=\begin{cases}0 &\text{ gdy } y<0\\\frac{y}{16}&\text{ gdy } y\in[0,16)\\1&\text{ gdy } y\ge 16\end{cases}}\)

Uwaga: w drugiej równości skorzystałem od razu z tego, że \(\displaystyle{ \mathbf{P}(X<0)=0}\), gdyby nie to, byłoby
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left(-\sqrt{y}\le X\le \sqrt{y}\right)}\)

[Roshita]

Aaa faktycznie, a ja zaczęłam się kopać z koniem z modułem z y. A jeszcze takie pytanie, czyli gęstość będzie miała postać \(\displaystyle{ f(y)= \begin{cases} \frac{1}{16} , \space y \in [0,16) \\ 0, \space poza \end{cases} }\)?

[Premislav]

Zgadza się.