Policz dystrybuantę

[milkyway]

Zmienna losowa X ma gęstość daną wzorem:
\(\displaystyle{
f(x) = \left\{ \begin{array}{ll}
\lambda e^{-\lambda x} & \textrm{gdy $x>0$}\\
0 & \textrm{gdy $x\leq0$}
\end{array} \right.
}\)
gdzie pewna \(\displaystyle{ \lambda}\) to nieznana stała. Znajdź \(\displaystyle{ \lambda}\), wiedząc, że
\(\displaystyle{ P\{\omega \in \Omega : X(w)<2\}=2P \{\omega \in \Omega : X(w)>4\}}\).
Policz dystrybuantę tej zmiennej.

[Janusz Tracz]

Z definicji mamy:

\(\displaystyle{ \mathbb{P}\left( X<2\right) = \int_{- \infty }^{2} f(x) \dd x }\)

\(\displaystyle{ \mathbb{P}\left( X>4\right) = 1- \mathbb{P}\left( X \le 4\right) = 1- \int_{- \infty }^{4} f(x) \dd x }\)

informacja z zadania mówi, że:

\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{2} f(x) \dd x = 2 \cdot \left( 1- \int_{- \infty }^{4} f(x) \dd x \right) }\)

a to za względy na \(\displaystyle{ f}\) upraszcza się do:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{2} \lambda e^{-\lambda x} \dd x = 2 \cdot \left( 1- \int_{0}^{4} \lambda e^{-\lambda x} \dd x \right) }\)

pozostaje policzyć te całki i rozwiązać równanie względem \(\displaystyle{ \lambda}\).

[KotDrewniany1997]

\(\displaystyle{ \int_{0}^{2} \lambda e^{-\lambda x} \dd x = 2 \cdot \left( 1- \int_{0}^{4} \lambda e^{-\lambda x} \dd x \right) }\)

pozostaje policzyć te całki i rozwiązać równanie względem \(\displaystyle{ \lambda}\).

\(\displaystyle{ \int \lambda e^{-\lambda x} dx = \lambda \cdot \int e^{-\lambda x} dx = \left[t = -\lambda x \Rightarrow dt = - \lambda \Rightarrow dx = - \frac{dt}{\lambda} \right] = \lambda \cdot \int - \frac{e^{t}}{\lambda} dt = \lambda (-\frac{1}{\lambda} \int e^{t} dt) = \lambda(-\frac{1}{\lambda} e^{t}) = \lambda(-\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x}) = -e^{-\lambda x} + c}\)

\(\displaystyle{ \int_{0}^{2} \lambda e^{-\lambda x} \dd x = \left[ -e^{-\lambda x} \right]^{2}_{0} = -e^{-2\lambda} - (-e^{-0\lambda}) = -e^{-2\lambda}+1}\)

\(\displaystyle{ \int_{0}^{4} \lambda e^{-\lambda x} \dd x = \left[ -e^{-\lambda x} \right]^{4}_{0} = -e^{-4\lambda} - (-e^{-0\lambda}) = -e^{-4\lambda}+1}\)

Wychodzi równanie:

\(\displaystyle{ -e^{-2\lambda}+1 = 2 \cdot (1 - (-e^{-4\lambda}+1))}\)

\(\displaystyle{ -(e^{\lambda})^{-2}+1 = 2 \cdot (1 - (-(e^{\lambda})^{-4}+1))}\)

\(\displaystyle{ u = e^{\lambda}}\)

\(\displaystyle{ -u^{-2}+1 = 2 \cdot (1 - (-u^{-4}+1))}\)

\(\displaystyle{ -\frac{1}{u^{2}}+1 = 2 \cdot (1 - (-\frac{1}{u^{4}}+1))}\)

\(\displaystyle{ -\frac{1}{u^{2}}+1 = \frac{2}{u^{4}} \qquad| \cdot u^{4}}\)

\(\displaystyle{ -\frac{1}{u^{2}}u^{4} + u^{4} = \frac{2}{u^{4}} u^{4}}\)

\(\displaystyle{ -u^{4-2}+u^{4} = 2}\)

\(\displaystyle{ -u^{2}+u^{4} = 2 \qquad | -2 }\)

\(\displaystyle{ u^{4}-u^{2}-2= 0}\)

\(\displaystyle{ v^{2} = u^{4} \qquad v = u^{2}}\)

\(\displaystyle{ v^{2}-v-2 = 0}\)

\(\displaystyle{ \Delta = (-1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9}\)

\(\displaystyle{ x_{1} = \frac{1-3}{2} = \frac{-2}{2} = -1}\)

\(\displaystyle{ x_{2} = \frac{1+3}{2} = \frac{4}{2} = 2}\)

\(\displaystyle{ v = u^{2} = 2}\)

\(\displaystyle{ u = \sqrt{2} \vee u = -\sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ v = u^{2} = -1}\) nie może być ujemne

\(\displaystyle{ u = e^{\lambda} = \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ e^{\lambda} = 2^{\frac{1}{2}}}\)

\(\displaystyle{ ln(e^{\lambda})=ln(2^{\frac{1}{2}})}\)

\(\displaystyle{ \lambda ln(e) = \frac{1}{2} ln(2)}\)

\(\displaystyle{ ln(e) = 1}\)

\(\displaystyle{ \lambda = \frac{1}{2} ln(2)}\)

\(\displaystyle{ u = e^{\lambda} = -\sqrt{2}}\) nie może być ujemna!!

Czy ktoś mógłby zerknąć? Wydaje się dobrze?

Dystrybuantę obliczył już Pan Janusz Tracz dystrybuanta zmiennej x

[Janusz Tracz]

\(\displaystyle{ \lambda = \frac{1}{2} ln(2)}\)
Czy ktoś mógłby zerknąć? Wydaje się dobrze?
Jeszcze dystrybuantę spróbuję.

Jest OK. Wolfram to potwierdza

Kod: Zaznacz cały

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%92+e+%5E%28%E2%88%92+2+%CE%BB%29+%2B+1+%3D+2+%E2%8B%85+%28+1+%E2%88%92+%28+%E2%88%92+e+%5E%28%E2%88%92+4+%CE%BB%29+%2B+1+%29+%29

. Ostatnio liczyłem dystrybuantę dystrybuanta