Zmienna losowa ciągła

[milkyway]

Z odcinka [-2,1] losujemy liczbę. Niech zmienna losowa X będzie:
a) wybraną liczbą,
b) odległością wybranej liczby od 0,
c) kwadratem wybranej liczby pomniejszonym o 2,
d) maksimum z wybranej liczby i liczby 1,
e) minimum z wybranej liczby i liczby 1.
W każdym z powyższych przypadków znajdź rozkład zmiennej X oraz gęstość
rozkładu( o ile istnieje).

Rozwiązanie a)
\(\displaystyle{
\Omega = \{x: x \in [-2,1]\}\\
P(A) = \frac{\lambda(A)}{3}\\
}\)
Dystrybuanta:

\(\displaystyle{
F(t) = \left\{ \begin{array}{ll}
0 & \textrm{gdy $t<-2$}\\
\frac{t+2}{3} & \textrm{gdy $t \in [-2,1]$}\\
1 & \textrm{gdy $ t\geq1 $}
\end{array} \right.
}\)

Gęstość:

\(\displaystyle{
f(t) = F'(t) = \left\{ \begin{array}{ll}
\frac{1}{3} & \textrm{gdy $t \in [-2,1]$}\\
0 & \textrm{gdy $t \notin [-2,1]$}
\end{array} \right.
}\)

Rozwiązanie b)
\(\displaystyle{
\Omega = \{x: x \in [-2,1]\}\\
P(A) = \frac{\lambda(A)}{3}\\
}\)
Dystrybuanta:

\(\displaystyle{
F(t) = \left\{ \begin{array}{ll}
0 & \textrm{gdy $t<0$}\\
\frac{2t}{3} & \textrm{gdy $t \in [0,1)$}\\
\frac{t+1}{3} & \textrm{gdy $t \in [1,2)$}\\
1 & \textrm{gdy $ t\geq2 $}
\end{array} \right.
}\)

Gęstość:

\(\displaystyle{
f(t) = F'(t) = \left\{ \begin{array}{ll}
\frac{2}{3} & \textrm{gdy $t \in [0,1)$}\\
\frac{1}{3} & \textrm{gdy $t \in [1,2)$}\\
0 & \textrm{w pozostałych przypadkach}
\end{array} \right.
}\)

Nie mam pomysłu jak zabrać się za kolejne podpunkty.

[Gosda]

c) \(F(t) = P(X^2 - 2 < t) = P(X^2 < t + 2) = P(- \sqrt{t+2} < X < \sqrt{t+2}) = \ldots\) tam, gdzie to ma sens, to znaczy dla \(t > -2\).

d) \(F(t) = P(\max(X, 1) < t)\), rozpatrz dwa przypadki: kiedy \(X < 1\) oraz kiedy \(X > 1\)

e) analogicznie

[milkyway]

A czy mógłby mi ktoś jeszcze wytłumaczyć, jak liczyć dystrybuantę w przypadku zmiennej losowej ciągłej? Podpunkty a) i b) zrobiłam w oparciu o inne rozwiązane zadanie, ale nie wiem, w jaki sposób zostało to policzone. Rozumiem jak liczyć dystrybuantę w przypadku zmiennej dyskretnej, ale nie rozumiem jak zostało to policzone tutaj.