Zmienne losowe, rozkład wektora losowego

[Bozydar12]

Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład \(\displaystyle{ U(0, 2)}\), a zmienna losowa \(\displaystyle{ Y}\) ma rozkład \(\displaystyle{ U(0, 1)}\).
Zmienne są niezależne. Obliczyć \(\displaystyle{ P(|2Y − X| < 0.5)}\). Mam pytanie do zadania.
Znane są dystrybuanty : \(\displaystyle{ F_X(x)= \begin{cases} 0,&x \le 0\\ \frac{x}{2} ,&x \in (0,2)\ \\ 1,&x \ge 2 \end{cases} }\)
\(\displaystyle{ F_Y(y)= \begin{cases} 0,&y \le 0 \\ y,&y \in (0,1)\\ 1,&y \ge 1 \end{cases} }\).
Skoro wiadomo, iż zmienne są niezależne, to:
\(\displaystyle{ F_{(X,Y)}(x,y)= \begin{cases} 0,&x \le 0,y \le 0 \\ \frac{xy}{2} ,&x \in (0,2),y \in (0,1)\\1,&x \ge 2,y \ge 1\end{cases} }\). (Wydaje mi się, że mogę to zrobić, jeżeli nie, to mam też rachunki dla gęstości wektora).
W jaki sposób sprawdzić teraz prawdopodobieństwo dla zmiennej losowej \(\displaystyle{ |2Y-X|}\)?

[Tmkk]

Sposób 1 (mniej polecam).

Znajdź gęstość \(\displaystyle{ -X}\) oraz \(\displaystyle{ 2Y}\), następnie korzystając ze splotu, znajdź gęstość \(\displaystyle{ g_{2Y-X}}\). Wówczas

\(\displaystyle{ \mathbb{P}\left(|2Y-X| < \frac{1}{2}\right) = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} g_{2Y-X}(t)dt}\).

Sposób 2 (polecam).

Korzystając z definicji prawdopodobieństwa, pokaż, że zachodzi

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(h(X,Y) \in A) = \int_{\mathbb{R}^2} 1_{ h(x,y) \in A}(x,y) g_{(X,Y)}(x,y)dxdy}\)

Stąd będzie

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(|2Y-X| < \frac{1}{2}) = \int_{\mathbb{R}^2} 1_{|2y-x| < \frac{1}{2}}(x,y) \frac{1}{2} 1_{ x \in (0,2) }(x) 1_{y \in (0,1)}(y) dxdy}\)

co sprowadza się do policzenia pola odpowiedniej figury.

[Bozydar12]

Mam jedynie pytanie tutaj co do tego

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(|2Y-X| < \frac{1}{2}) = \int_{\mathbb{R}^2} 1_{|2y-x| < \frac{1}{2}}(x,y) \frac{1}{2} 1_{ x \in (0,2) }(x) 1_{y \in (0,1)}(y) dxdy}\)

\(\displaystyle{ 1_{|2y-x| < \frac{1}{2}}(x,y)}\) nie do końca rozumiem jak definiować ten fragment i jak będzie on wpływał na całość.
Wiem, że \(\displaystyle{ \frac{1}{2}< 2y-x < \frac{1}{2}}\),a stąd \(\displaystyle{ y \in ( \frac{x}{2}- \frac{1}{4}, \frac{x}{2} + \frac{1}{4}) }\).
Czyli ostatecznie powinienem całkować po przedziale \(\displaystyle{ \int_{\frac{x}{2}- \frac{1}{4}}^{\frac{x}{2} + \frac{1}{4}} \int_{0}^{2} \frac{1}{2}dxdy }\)?

[Tmkk]

\(\displaystyle{ 1_A}\) lub \(\displaystyle{ \chi_A}\), to po jedynka charakterystyczna zbioru, czyli \(\displaystyle{ 1_{|2y-x|<\frac{1}{2}} = 1 \hbox{ jeśli } |2y-x|<\frac{1}{2} \hbox{ i } 0}\) w.p.p. Pamiętaj, że wszystko dzieje się na płaszczyźnie i możesz to sobie ładnie rysować.

W Twojej całce, zobacz, że na przykład dla \(\displaystyle{ x=\frac{1}{4}}\), \(\displaystyle{ y}\) biega od \(\displaystyle{ -\frac{1}{8}}\) do \(\displaystyle{ \frac{3}{8}}\), co nie ma sensu, bo z gęstości pod całką mamy \(\displaystyle{ 1_{y \in (0,1)}}\), czyli \(\displaystyle{ y}\) musi leżeć w przedziale \(\displaystyle{ (0,1)}\), aby całka była niezerowa.

Narysuj sobie zbiór na którym całkujesz (czyli zbiór, dla którego wszystkie trzy jedynki charakterystyczne są niezerowe), wtedy zobaczysz, że musisz rozdzielić na \(\displaystyle{ 3}\) całki LUB po prostu policzyć odpowiednie pole (bo funkcja podcałkowa, po uwzględnieniu f. charakt. i wyrzuceniu \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) na zewnątrz, to po prostu jedynka). A pole to jest bardzo proste do policzenia i nie wymaga żadnych całek, tylko wzoru na pole trójkąta i prostokąta.

W skrócie, chodzi mi o to, że

\(\displaystyle{ \int_{\mathbb{R}^2} 1_{|2y-x| < \frac{1}{2}}(x,y) \frac{1}{2} 1_{ x \in (0,2) }(x) 1_{y \in (0,1)}(y) dxdy = \frac{1}{2} \int_B 1dxdy = \frac{1}{2}\lambda(B)}\),

gdzie \(\displaystyle{ B = \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2: 0 < x < 2, 0 < y < 1, |2y-x|<\frac{1}{2}\right\} }\)

[Bozydar12]

Wyznaczyłem, iż jest to prostokąt \(\displaystyle{ 2 \cdot 1}\), pomniejszony o dwa trójkąty \(\displaystyle{ \frac{3}{4} \cdot \frac{6}{4} }\), więc wychodziłoby iż równa sięto \(\displaystyle{ 2-(2 \cdot \frac{3}{4} \frac{6}{4} \cdot \frac{1}{2}) = \frac{7}{8} }\), więc ostateczny wynik \(\displaystyle{ \frac{7}{16}}\). Dzięki wielkie za pomoc!