Zamiana zmiennej losowej

[Bozydar12]

Niech \(\displaystyle{ X_1}\) i \(\displaystyle{ X_2}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie \(\displaystyle{ U (0, 1)}\).
Rozważmy zmienną losową równą bezwzględnej wartości różnicy zmiennych \(\displaystyle{ X_1}\) i \(\displaystyle{ X_2}\).
Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję tej zmiennej losowej.
Czy w tym zadaniu mogę skorzystać z czegoś takiego?
\(\displaystyle{ EX=E|X _{1} - X _{2}|=|EX _{1} - EX _{2}| = \left| \frac{1}{2}- \frac{1}{2}\right| = 0 }\)

[Tmkk]

Nie możesz, bo druga równość jest nieprawdziwa.

Wskazówka: jako, że zmienne losowe są niezależne, wektor losowy \(\displaystyle{ (X_1,X_2)}\) ma gęstość \(\displaystyle{ g_{(X_1,X_2)}(x_1,x_2) = g_{X_1}(x_1)g_{X_2}(x_2)}\) (upewnij się, że wiesz i rozumiesz, dlaczego tak jest).

[Bozydar12]

Czyli zakładając, że zmienne są niezależne, \(\displaystyle{ X=(X_{1},X_{2}) }\) oraz \(\displaystyle{ f _{X _{i} }(x _{i}) = \begin{cases} 1,x _{i} \in (0,1)\\ 0,x _{i} \notin (0,1)\end{cases} }\), wtedy
\(\displaystyle{ f _{X}(x _{1}, x_{2}) = \begin{cases} 1,x _{1},x_{2} \in (0,1)\\ 0,x _{1},x_{2} \notin (0,1)\end{cases}}\). Tylko jak z postaci rozkładu gęstości wektora \(\displaystyle{ X=(X_{1},X_{2})}\), przejść do rozpatrywania działania na zmiennych losowych \(\displaystyle{ X_{1}, X_{2}}\)?

[Tmkk]

Z tego samego powodu, dlaczego dla jednowymiarowej zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) z gęstością \(\displaystyle{ g_X}\) zachodzi

\(\displaystyle{ \mathbb{E}h(X) = \int_{\mathbb{R}} h(x)g_X(x)dx}\) dla \(\displaystyle{ h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}}\) mierzalnej,

tak samo, dla dwuwymiarowej (i wielo) zmiennej losowej \(\displaystyle{ X = (X_1,X_2)}\) z gęstością \(\displaystyle{ g_{(X_1,X_2)}}\) zachodzi

\(\displaystyle{ \mathbb{E}h(X_1,X_2) = \int_{\mathbb{R}^2} h(x_1,x_2)g_{(X_1,X_2)}(x_1,x_2)dx_1dx_2}\) dla \(\displaystyle{ h : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}}\) mierzalnej,

[Bozydar12]

Czyli jak rozumiem wartość oczekiwana pewnej funckji zmiennych losowych to

\(\displaystyle{ \mathbb{E}h(X_1,X_2) = \int_{\mathbb{R}^2} h(x_1,x_2)g_{(X_1,X_2)}(x_1,x_2)dx_1dx_2}\). Wychodzi na to, że \(\displaystyle{ g_{(X_1,X_2)}(x_1,x_2)}\) już mam, a za \(\displaystyle{ h(x_1,x_2)}\) podstawiam \(\displaystyle{ \left| X_1-X_2\right| }\)? Jak wtedy to liczyć?

[Tmkk]

Tak, czyli masz do policzenia całkę podwójną:

\(\displaystyle{ \int_0^1 \int_0^1 |x-y| dydx}\).

Jakie masz doświadczenie z liczeniem całek podwójnych? Jeśli jakiekolwiek, to możesz na przykład zacząć od narysowania obszaru całkowania (czyli kwadratu) i podzielenia na dwie części, aby poradzić sobie z wartością bezwględną.

[Bozydar12]

Tą calke policzyć potrafię, jednak nie zorientowałem się że przecież mogę podstawic tam \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\). Zrobię to i mam bardzo podobne zadanie to zaraz się pobawie, dzięki wielkie za pomoc.

Dodano po 35 minutach 35 sekundach:
Dla pewności, powinienem całkować w takich przedziałach?
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} (x-y) \dd x \dd y +\int_{0}^{1} \int_{x}^{1} (y-x) \dd x \dd y }\)? Już widzę, iż wychodzi to poprawnie, jednak muszę sobie przypomnieć kolejność całkowania.

[Tmkk]

Wszystko się zgadza, tylko całki powinny być \(\displaystyle{ dydx}\) a nie \(\displaystyle{ dxdy}\).